Тема . Линал и алгебра.

.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79778

Зададим на $ℝ2$ функцию от двух векторных переменных

f : ℝ2 × ℝ2 → ℝ

по следующему правилу

( ) ( ) ( ) f(v,u) = v v 1 0 u1 1 2 0 4 u2

Задача. Доказать, что $f$ определяет некоторое скалярное произведение на $2 ℝ$ . Найти относительно этого скалярного произведения произведение векторов $v = (1,− 1)$ и $u = (4,1)$ .

Показать ответ и решение

Для этого надо проверить, что функция $f$ - билинейная, симметрична и положительно определена.

Пусть $2 x,y,z ∈ ℝ$ и их координаты: $x = (x1,x2)$ , $y = (y1,y2)$ , $z = (z1,z2)$ .

1. Билинейность.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 z1 ( ) ( ) 1 0 z1 f(x+ y,z) = x1 + y1 x2 + y2 0 4 z2 = ( x1 x2 + y1 y2 ) 0 4 z2 =

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) тупо раскры=ваем скобки x x 1 0 z1 + y y 1 0 z1 1 2 0 4 z2 1 2 0 4 z2

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) f(λx,z) = λx λx 1 0 z1 = λ x x 1 0 z1 = λf(x,y) 1 2 0 4 z2 1 2 0 4 z2

Линейность по первому аргументу доказана. Линейность по второму аргументу проверяется, естественно, аналогично.

2. Симметричность.

( ) ( ) ( ) ( )( ) f(y,x) = y y 1 0 x1 = y 4y x1 = y1x1 + 4y2x2 1 2 0 4 x2 1 2 x2

А с другой стороны

( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 y1 ( ) y1 f (x, y) = x1 x2 = x1 x2 = x1y1 + x24y2 0 4 y2 4y2

Симметричность доказана.

3. Положительная определенность.

( ) ( ) ( ) f(x,x) = x x 1 0 x1 = x2 + 4x2 ≥ 0 ∀(x ,x ) ∈ ℝ2 1 2 0 4 x2 1 2 1 2

Более того, очевидно, что

f (x,x) = 0 ⇔ x = 0, т.е. x1 = x2 = 0

Теперь посчитаем $f ((1,− 1),(4,1))$ :

( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 4 ( ) 4 f((1,− 1),(4,1)) = 1 − 1 = 1 − 1 = 4− 4 = 0 0 4 1 4

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ