.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

Очевидно, что после первого шага в процессе Грама-Шмидта определитель матрицы Грама не меняется, потому что первый вектор новой системы просто равен первому вектору старой системы, . То есть

Почему же этот определитель не меняется и, например, после второго шага? Вспомним формулу:

Но тогда сделаем с матрицей

следующие элементарные преобразования:

1. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , получим матрицу:

2. Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на , получим матрицу:

И это в точности матрица Грама от системы векторов , то есть

то есть это по сути

А поскольку определитель при элементарных преобразованиях третьего типа не меняется, то

Таким образом, при втором шаге в процессе Грама-Шмидта определитель матрицы Грама тоже не меняется.

Продолжая в том же духе, можно показать, что и на любом шаге он не будет меняться - при каждом следующем шаге новая матрица Грама от старой отличается только набором элементарных преобразований третьего типа.