.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

Поскольку расстояние от точки до подпространства равно длине ортогональной составляющей вектора, соединяющего эту точку и любую точку из подпространства, выберем для начала произвольную точку из нашего подпространства.

Пусть это будет многочлен

Тогда вектор, соединяющий наш исходный многочлен и многочлен - это вектор

И осталось лишь этот вектор, то есть многочлен разложить в сумму .

И тогда длина этого самого и будет ответом.

Чтобы разложить многочлен разложить в сумму , надо выбрать базис в и дополнить его до базиса во всем пространстве многочленом, ортогональным всему выбранному базису в .

В качестве базиса в можем взять стандартный базис

Осталось лишь дополнить его до базиса в таким многочленом, который был бы ортогонален всем трем многочленам из базиса подпространства .

Таким образом, мы ищем такой многочлен , который ортогонален 1, то есть

Далее, ортогонален , то есть

И, наконец, ортогонален , то есть

Таким образом, из первого равенства получаем, что

Из второго равенства получаем, что

И из третьего равенства получаем, что

Возьмем, к примеру,

То есть наш многочлен получается такой:

Таким образом, получаем, что

Осталось лишь разложить наш вектор

по этому базису. Но ясно, что

То есть в выбранном базисе он имеет координаты

Таким образом,

И поэтому

А это и есть искомое расстояние.