Проецирование в стерео
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ортогональной проекцией правильной треугольной пирамиды на некоторую плоскость является параллелограмм с острым углом 
.
Найдите объём пирамиды, если площадь её боковой поверхности равна 54.
Источники:
Подсказка 1
Чтобы нормально работать с картинкой, рассмотрим две пары скрещивающихся рёбер пирамиды (например, AB, CD, BC, AD). Ведь их достаточно для построения проекции. Пирамида правильная, значит, на этих рёбрах удобно отметить их середины (например, точки M, N, Q, P соответственно). Ведь отрезки MN и PQ являются перпендикулярами к этим рёбрам. Но, кажется, этого мало, ведь надо понять, какие свойства имеют их проекции. Попробуйте выяснить, как связаны эти отрезки и их проекции, основываясь на том, что ортогональная проекция пирамиды - параллелограмм.
Подсказка 2
В силу того, что проекцией пирамиды является параллелограмм, эти отрезки параллельны плоскости проекции. Тогда проекции MN и PQ параллельны самим отрезкам, равны им и перпендикулярны сторонам ромба. Также, так как пирамида правильная, MN и PQ равны, а значит, и их проекции тоже. Что тогда мы можем сказать про этот параллелограмм?
Подсказка 3
Верно! Это же ромб! Ведь в нём высоты, проведённые к смежным сторонам, равны. Тогда, если введём угол между ребром основания пирамиды и плоскостью проекции и длину стороны основания и боковой стороны трапеции (например, через a и b), то сможем выразить стороны ромба через a, b и этот угол и получить уравнение, ведь эти стороны равны.
Подсказка 4
Теперь мы получили, что тангенс угла между ребром основания пирамиды и плоскостью проекции равен a/b. Отлично! Мы можем выразить и синус, и косинус этого угла через a/b, а значит, и сторону ромба мы можем выразить через a и b (для удобства можно заменить a/b на новую переменную). Но мы ещё никак не воспользовались тем условием, что угол ромба равен 60 градусам. Это нужно исправить, например, записав уравнение на синус этого угла, выразив его как отношение высоты ромба на его сторону. Если мы ещё и выразим высоту через a и b, то получится записать уравнение на a и b.
Подсказка 5
Мы ведь знаем, что проекция MN - это высота ромба. Тогда так как проекция равна MN, то и высота равна этому отрезку. А вот его уже легче искать. Это можно сделать, выразив площадь треугольника MDC двумя способами.
Подсказка 6
Подставив MN в уравнение, мы получили, что (a/b)^2 = 2. Осталось воспользоваться последним условием задачи про площадь боковой поверхности. Выразив её через a и b, мы получаем уравнение, через которое находим a и b. Дело за малым, осталось лишь посчитать объём. И победа!
Пусть сторона основания пирамиды 
с вершиной 
равна 
, а боковое ребро равно 
. Для построения проекции достаточно
рассмотреть две пары скрещивающихся ребер, например, 
и 
, проекции которых являются сторонами параллелограмма
Пусть 
— общий перпендикуляр пары рёбер 
и 
, а 
— общий перпендикуляр скрещивающихся рёбер 
и 
Плоскость проекции 
параллельна как 
, так и 
, поскольку ортогональной проекцией пирамиды является параллелограмм.
Отрезки 
и 
проектируются на плоскость 
без изменения длины в высоты параллелограмма 
и 
, так как 
и 
обе перпендикулярны 
и будут параллельны друг другу, т.к. 
— параллелограмм. То есть 
не просто общий
перпендикуляр 
и 
, но и общий перпендикуляр двух вышеописанных плоскостей. А значит, ещё это и общий перпендикуляр для
и 
Поскольку пирамида правильная, 
. Следовательно, 
В параллелограмме 
высоты, проведённые к смежным сторонам, равны. Значит, параллелограмм является
ромбом.
Пусть ребро 
наклонено к плоскости 
под углом 
, тогда ребро 
, которое перпендикулярно 
, наклонено под углом
Отсюда 
Обозначим 
. Тогда 
.
Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами правильной треугольной пирамиды как высоту сечения 
:
откуда
Тогда синус острого угла пирамиды равен 
. Подставляя найденные выражения и данное в условии значение
, получим 
, откуда 
(что невозможно) или 
Площадь боковой поверхности пирамиды равна
Подставив 
и 
, найдём
Объём правильной пирамиды равен
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
