.13 Определенный интеграл Римана

Рассмотрим функцию

В качестве отрезка можно взять любой отрезок.

Тогда - не интегрируема по Риману на . Это можно усмотреть и потому, что является лишь слегка модифицированной функцией Дирихле и можно по определению проверить, что у её интегральных сумм нет предела при .

Но можно и, пользуясь нашей новой теорией, указать на то, что такая функция не может удовлетворять условию малых колебаний. А именно, каково бы ни было разбиение , и каков бы ни был отрезок разбиения , ясно, что

поскольку совершенно в любом отрезке найдется хотя бы одна как рациональная, так и иррациональная точка, а значит в любом отрезке принимает как значение 1, так и значение минус 1, а потому её колебание на любом отрезке равно двум.

А потому сумма всех колебаний, умноженных на длины отрезков разбиения для функции :

И уже точно не может быть сделана меньше любого наперед заданного за счет мелкости разбиений.

В то же время - интегрируема на любом отрезке как непрерывная функция.