.13 Определенный интеграл Римана

Так как функция непрерывна на отрезке то она интегрируема по Риману на нём.

То есть, по определению интеграла Римана, это означает, что существует предел интегральных сумм

при И, раз этот предел существует и не зависит от выбора точек разбиения и отмеченных точек то его можно вычислить по какой угодно последовательности разбиений и по какому угодно выбору отмеченных точек, лишь бы только параметр разбиения стремился к 0.

Пусть - равномерное разбиение отрезка, содержащее четное (а именно, ) количество отрезков разбиения то есть

И так далее... И пусть при каждом разбиении отмеченные точки выбираются каждый раз в серединах отрезка разбиения.

Тогда, при любом таком разбиении интегральная сумма равна

Но, поскольку отмеченные точки мы брали в симметричных относительно ноля местах (в серединах симметричных отрезков), то при выполнено:

А, значит,

Но, поскольку синус - нечётная функция, то

Поскольку
И все слагаемые первой суммы при сложении с соответствующими слагаемыми второй суммы дают 0.

Очевидно также, что Следовательно, раз мы знаем, что интеграл существует, то при любой последовательности разбиений, у которых параметр стремится к 0, предел интегральных сумм и будет равен интегралу Таким образом,