.13 Определенный интеграл Римана
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть ![(
{ 1 если x ∈ ℚ
D(x) = (
0 если x ∈ [0,1]∖ ℚ](/api/latex-service/v1/GetSession/91042/index-0919a2765545b9d451ed9bab5d47cd51.svg)
- функция Дирихле на отрезке ![[0,1].](/api/latex-service/v1/GetSession/91042/index-b9be13471274a2ceb26ca2a23041c848.svg)
Существует ли интеграл
?
Возьмем две последовательности разбиений с отмеченными точками отрезка ![[0,1].](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-ac5bc0f9913df99cbf64c972b66c9cf5.svg)
1. 
- равномерное разбиение на 
равных отрезков длины 
то есть:
![P1 : [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-00b32566ab34497a0d6d6b3c87a32448.svg)
![1 1
P2 : [0,-],[-,1]
2 2](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-81fb186d1315f440a9b116713f588aaf.svg)
![1- 1- 2- 2-
P3 : [0, 3],[3, 3],[3,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-fe455471afd3da868c5a35fe61b6c190.svg)
И так далее... А в качестве отмеченной точки 
будем всякий раз брать на каждом
отрезке разбиения любую рациональную точку. Какую - неважно. Их в любом случае на
каждом отрезке бесконечно много - выбора у нас предостаточно. Итак, 
1. 
- равномерное разбиение на 
равных отрезков длины 
то есть:
![P1 : [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-58344c7c718bbcb5d261d89c2854993a.svg)
![1 1
P2 : [0,-],[-,1]
2 2](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-fa0e53676617b0fa8ac0ebed43cb4601.svg)
![1- 1- 2- 2-
P3 : [0, 3],[3, 3],[3,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-0a151aef34c363f91a96e3a42e3c13d1.svg)
И так далее... А в качестве отмеченной точки 
будем всякий раз брать на каждом
отрезке разбиения любую рациональную точку. Какую - неважно. Их в любом случае на каждом
отрезке разбиения бесконечно много - выбора у нас предостаточно. Итак, 
2. 
- тоже равномерное разбиение на 
равных отрезков длины 
то есть:
![˜
P1 : [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-d75a997ffcbf9f2ee23edd0395a8378c.svg)
![˜ 1- 1-
P2 : [0, 2],[2,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-ce9fdbd1200b86cfb310b146b0280a4a.svg)
![˜P3 : [0, 1],[1, 2],[2,1]
3 3 3 3](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-d133895bc36d2a46dcd04903ac1e1cd8.svg)
И так далее... А в качестве отмеченной точки 
теперь будем всякий раз брать на
каждом отрезке разбиения любую иррациональную точку. Какую - неважно. Их в любом случае на
каждом отрезке бесконечно много Итак, ![˜ξi ∈ Δ˜i, ˜ξi ∈ [0,1]∖ℚ.](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-712593913a8729ed2acd3bbbf35846f3.svg)
Тогда понятно, что и 
и 
однако
![n n
∑ ∑
σ(D (x),Pn, ξ) = D (ξi)Δxi = 1 ⋅ Δxi = 1 ⋅ длина [0,1 ] = 1
i=1 i=1](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-8824717d933d13bc53eb8301ff928c7d.svg)
В то время как
То есть мы нашли две последовательности разбиений, у которых параметр стремится к 0, но при
одной последовательности разбиений последовательность интегральных сумм стремится к 1, а у другой
- к 0. Следовательно, никакого общего предела при 
у последовательности интегральных сумм
не зависящего от выбора точек разбиений и выбора отмеченных точек, быть не может.
Следовательно, 
- не интегрируема на ![[0,1].](/api/latex-service/v1/GetSession/91043/index-3732f6b2b1d5afa391cef7553f7111f1.svg)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
