.13 Определенный интеграл Римана

Здесь уже не прокатит просто сказать, что до предельного перехода все интегральные суммы

строго положительны, а значит и после предельного перехода при будет

Во-первых, предельный переход может превратить строгое неравенство в нестрогое.

Более того, мы пока что ведь знаем только то, что наша функция строго положительна только в одной точке, это не даёт пока строгой положительности всевозможных интегральных сумм.

Тут нужно воспользоваться всеми данными нам условиями - в том числе непрерывностью на

Давайте воспользуемся её непрерывностью в указанной в условии точке - этого нам хватит.

Вспомним теорему о сохранении знака непрерывной функции:

Теорема. Если непрерывна в точке и если то найдётся окрестность в которой

Далее, ясно, что внутри этой окрестности найдется какой-то маленький отрезок на котором наша функция получается, тоже строго положительна (раз внутри окрестности строгой положительности ).

Более того, так как - непрерывна на то она непрерывна и на тогда по теореме о минимуме и максимуме непрерывной функции (Вейерштрасс) , достигает на своего минимального и максимального значения.
И, поскольку то

Далее, давайте возьмем функцию такую, что на этом отрезке равна константе и равна 0 вне То есть

Тогда понятно, что для интегральных сумм функций и при любом разбиении будет выполнена оценка:

Поскольку мы заменили функцию на тождественный 0 вне а в взяли её минимальное значение.

Однако заметим, что поскольку - это не что иное, как площадь прямоугольника ширины и высоты то есть

Значит, переходя к пределу при в неравенстве

Мы получим, что (пользуясь теоремой о монотонности интеграла Римана):

Следовательно