.13 Определенный интеграл Римана

Понятное дело, что не выйдет сделать замену в определенном интеграле - эта замена разрывна в точке .

Однако, если сделать эту же замену для вычисления первообразной, то есть

То мы приходим, с учетом того, что , к неопределенному интегралу

Который преобразуется в

Следовательно, при любом функция является первообразной для на полуинтервале , а при любом функция является первообразной для на полуинтервале .

Таким образом, нам нужно выбрать так и , чтобы уже функция

была первообразной нашей исходной функции уже на всём отрезке .

Подберем из условия непрерывности. То есть, чтобы

Но ясно, что

С другой стороны, , Следовательно, нам нужно, чтобы

То есть, необходимо, чтобы

Какие именно взять с выполнением этого условия - неважно. Возьмем, допустим, .

И получается, что функция

уже будет являться настоящей первообразной для функции на всём отрезке . Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница: