.13 Определенный интеграл Римана

Видно, что данная область не является стандартной относительно оси . Потому что пока пробегает от до , мы не можем указать двух функций таких, что пробегает от до - поскольку при у нас будут проблемы с тем, что над каждой точкой по иксу будет аж 4 значения .

Конечно, эту область можно разбить на три стандартные относительно области - часть от до 0 по и два "плавника" при , посчитать площадь каждой области и потом сложить.

Но проще заметить, что наша область является стандартной относительно . Действительно,

(здесь мы выразили из первого и из второго неявного задания) Следовательно, площадь нашей области равна:

Но видно, что наша область - симметричная относительно , то есть её верхний кусок равен нижнему, а поэтому можно просто посчитать площадь верхнего куска, и умножить на 2:

У подынтегральной функции можно найти первообразную. Мы это проделывали ранее в теме неопределенный интеграл (ясно, что трудность представляет из себя здесь только корень, все остальное - совсем простые табличные интегралы), поэтому можем воспользоваться тем, что

А потому, будем иметь: