.13 Определенный интеграл Римана

Рассмотрим функцию Дирихле, не интегрируемую по Риману:

И немного изменим её:

Такая функция всё ещё не интегрируема по Риману на любом отрезке , ведь можно взять два одинаковых разбиения с различными отмеченными точками, причём одно разбиение будет включать в себя только рациональные точки, другое – только иррациональные. Тогда обозначим разбиение
, отрезки разбиения , диаметр разбиения и посмотрим на значения Римановых сумм в первом и во втором случае:

Пределы различаются, значит, функция не интегрируема по Риману ни на каком отрезке . В то время как квадрат функции равен на всей числовой прямой, и эта функция интегрируема по Риману на любом отрезке .