.13 Определенный интеграл Римана

Замечая, что множитель разрешается относительно , поскольку это биквадратное относительно выражение, мы имеем, что . И это нам поможет:

Далее, делаем замену . Исходная подынтегральная функция непрерывна всюду, заменяющая функция - всюду непрерывно дифференцируема, поэтому можно пользоваться теоремой о замене переменной под знаком определенного интеграла. При этой замене отрезок переходит в . С учётом этого, а также того, что имеем:

Комментарий. Заметим, что этот интеграл можно было вычислить и непосредственно, поскольку подынтегральная функция - это просто многочлен, если раскрыть скобки. Однако при таком лобовом подходе вычисления получаются куда более громоздкими и долгими. Сравните это с тем, как красиво и просто у нас получилось при помощи теоремы о замене переменной в определенном интеграле.