.13 Определенный интеграл Римана

Раз - монотонна на , то неважно, возрастает она на нем или убывает, в любом случае

Тогда для любого возьмем и получим что для любого разбиения с параметром :

Однако, в силу того, что и для каждого выполнено, что

Тогда получается:

Поскольку - монотонна, то она либо монотонно возрастает, и тогда все выражения вида

под модулем имеют знак плюс и тогда модуль можно вообще снять, либо она монотонно убывает, и тогда все выражения вида

под модулем имеют знак минус и тогда все модули раскрываются одинаково, в любом случае можем написать, что

таким образом, удовлетворяет условию малых колебаний и, значит, интегрируема на .