Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.13 Равнобедренная трапеция

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#16095Максимум баллов за задание: 1

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим боковую сторону трапеции через $x.$ Опустим высоты $BE$ и $CF$ на большее основание $AD.$

$PIC$

Трапеция равнобокая, $AB = CD,$ $∠EAB =∠CDF,$ следовательно, прямоугольные треугольники $ABE$ и $DCF$ равны и $AE = F D.$ $BCF E$ — прямоугольник, значит, $EF = BC = 7.$ Тогда

AE = FD = AD--− EF = 6= 3 2 2

Запишем площадь трапеции, чтобы найти $BE :$

1 2SABCD 2⋅40 SABCD = 2(AD + BC )⋅BE ⇒ BE = AD-+-BC- = 7+-13 = 4

По теореме Пифагора в треугольнике $ABE$

∘ ---------- x= AE2 +BE2 =5

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#23890Максимум баллов за задание: 1

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD,$ $∘ ∠BDA = 14$ и $∘ ∠BDC = 106.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для равнобедренной трапеции имеем:

∠BAD = ∠CDA = ∠BDA +∠BDC = =106∘+ 14∘ = 120∘

$PIC$

По сумме углов треугольника $ABD$ получаем

∠ABD = 180∘− ∠BAD − ∠ADB = = 180∘− 120∘ − 14∘ = 46∘

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#23892Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, угол между боковой стороной и одним из оснований равен $∘ 45.$ Найдите площадь этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция из условия, отрезок $BH$ — высота трапеции. Тогда имеем:

1 9− 3 AH = 2 (AD − BC )=--2- = 3

$PIC$

Треугольник $ABH$ — прямоугольный, причем $∠BAH = 45∘,$ то есть этот треугольник равнобедренный и $BH = AH = 3.$

Тогда площадь трапеции равна

1 1 2(BC +AD )⋅BH = 2(3+ 9)⋅3= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#89262Максимум баллов за задание: 1

Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 39, а ее площадь равна 360. Найдите периметр трапеции.

Показать ответ и решение

Проведем высоту $BH$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и найдем ее длину:

21+-39 360= BH ⋅ 2 ⇔ BH = 12

$ABCDH$

По свойству равнобедренной трапеции имеем:

AH = AD-−-BC- = 39−-21-= 9 2 2

Тогда по теореме Пифагора из $△ABH :$

∘---------- ∘ ------- AB = AH2 +BH2 = 92+ 122 = 15

Следовательно, периметр трапеции равен

P = 21+ 39+ 15⋅2= 90

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#104708Максимум баллов за задание: 1

Найдите больший угол равнобедренной трапеции $ABCD,$ если диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ и боковой стороной $AB$ углы, равные $46∘$ и $1∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Найдем угол $BAD :$

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD =1 + 46 = 47

Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция,

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − 47 = 133

Значит, больший угол равен $133∘.$

Ответ: 133

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#104709Максимум баллов за задание: 1

Сумма двух углов при основании равнобедренной трапеции равна $∘ 50 .$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то

∘ ∠ABC + ∠DAB =180 ∠BAD = ∠CDA ∠ABC = ∠BCD

Таким образом, можем считать, что сумма углов $BAD$ и $CDA$ равна $50∘.$ Так как они равны, каждый из них равен $25∘.$

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠BCD = ∠ABC = 180 − 25 = 155

Ответ: 155

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#104710Максимум баллов за задание: 1

Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины $C,$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим точки основания высот за $H1,$ $H2.$ Так как трапеция равнобедренная,

AH1 = DH2 = 1

Также $BCH2H1$ — прямоугольник, т.е. $H1H2 = BC.$ Значит,

BC =H1H2 = AH2 − AH1 = 11− 1= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#76259Максимум баллов за задание: 1

Открытка, которую Кевин Маккалистер нарисовал для своей матери Кейт, выполнена в форме равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 30. Кевин хочет сложить открытку пополам: по прямой, соединяющей середины оснований. Найдите длину отрезка $EF,$ где $E$ и $F$ — середины оснований трапеции.

Показать ответ и решение

Применим следующую теорему: «Середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон страпеции лежат на одной прямой». Тогда $EF$ — отрезок, соединяющий середины трапеции, — проходит через точку $Q$ продолжений боковых сторон и точку $O$ пересечения диагоналей.

Далее, так как трапеция равнобедренная, то $EF$ перпендикулярен основаниям. Докажем это. Так как трапеция равнобедренная, то $∠A = ∠D,$ следовательно, $△AQD$ — равнобедренный. Тогда медиана $QF$ является его высотой.

$QADCBMNEFOH$

Так как $EF ⊥ AD,$ то $EF = BH,$ где $BH$ — высота трапеции.

$AB = CD,$ $∠A = ∠D,$ $AD$ — общая, следовательно, $△ABD =△ACD.$ Отсюда $∠BDA = ∠CAD.$ Так как $∠AOD =90∘,$ то $∠OAD =∠ODA = 45∘.$ Следовательно, $△BHD$ прямоугольный с углом $45∘.$ Значит, он равнобедренный, откуда $BH = HD.$

$BEF H$ — прямоугольник, следовательно, $1 2BC = BE = HF.$ Отсюда $1 1 AH = 2AD − 2BC,$ тогда $1 HD = AD − AH = 2(AD + BC )= MN.$ Следовательно, $EF =BH = HD = MN = 30.$

Ответ: 30