.05 Поверхности второго порядка

Выпишем матрицу квадратичной части Сначала по алгоритму нам нужно найти её собственные числа. Это в точности корни многочлена

Видно, что характеристическое уравнение имеет два корня:

Поскольку корень кратности два, то первые два собственных вектора, соответствующие ему, нужно самим выбрать ортогональными (поскольку мы хотим произвести ортогональную замену координат). Они находятся как два ортогональных частных решения системы уравнений то есть, в данном случае,

Можно взять, например, в качестве : а в качестве :

Видно, что они оба являются решением системы а также, поскольку то они ортогональны.

Далее, соответствующий третьему собственному значению ищется как любое частное решение системы

Например, подойдёт

Далее, поскольку мы хотим именно ортогональную замену, то собственные векторы нужно отнормировать (чтобы каждый из них имел длину 1):

Тогда матрица перехода в базис из собственных векторов имеет вид:

Тогда, делая замену координат по формулам

И подставляя в исходное уравнение поверхности вместо их выражения через получим:

Или, собирая полный квадрат:

деля на 3

Тогда, в новых координатах получим:

и это параболический цилиндр