Тема ТурЛом (турнир Ломоносова)

Тождественные преобразования и функции на Турломе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турлом (турнир ломоносова)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119819

Про действительные числа $a,b,c,d$ известно, что

ab =cd= 2025, a+c =b+ d, a+ b⁄= c+ d

Чему может быть равно значение $a +b+ c+d?$

Источники: Турнир Ломоносова - 2025, 11.1(см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем сделать какое-то преобразование, чтобы объединить все данные из условия. С помощью чего мы можем связать сумму и произведение чисел?

Подсказка 2

Верно, с помощью возведения в квадрат! Кстати, что нам известно про числа a-b и d-c?

Подсказка 3

Да, они равны! А значит, равны и их квадраты! Попробуйте из этого равенства вывести равенство квадратов a+b и c+d.

Показать ответ и решение

Поскольку $a+ c=b+ d,$ то $a− b= d− c.$ Отсюда

2 2 (a − b) = (d− c)

2 2 2 2 a + b− 2ab= c+ d − 2cd

Так как $ab= cd,$ добавим к обеим частям равенства $4ab:$

a2+b2− 2ab+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4cd

a2+ b2+ 2ab= c2+ d2+ 2cd

(a +b)2 = (d+ c)2

|a +b|= |d+ c|

По условию $a+ b⁄= c+d,$ поэтому

a+ b= −c− d

Итак,

a+ b+ c+d =− c− d +c+ d= 0

Ответ:

Только $0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93344

Пусть $f(x)= |x− 1|.$

Решите уравнение

f(f(f(...(f(x))...)))= 0

(буква $f$ написана $2021$ раз).

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем поработать с маленьким количеством f. Какие корни будет иметь уравнение, если мы запишем f один раз? А если 2, 3 раза?

Подсказка 2

Если f записана 1 раз, то корнем будет число 1. Если 2 раза — то имеем корни 0, 2. Если же f записана 3 раза — то корнями будут числа -1, 1, 3. Можно ли заметить какую-нибудь закономерность?

Подсказка 3

Если f записана k раз, то корнями уравнения будут числа -k+2, -k+4, …, k-2, k. Докажем это по индукции по k!

Подсказка 4

Подумайте, что необходимо и достаточно сказать про корни уравнения, где f записана k раз, чтобы число a было корнем уравнения, где f записана k+1 раз.

Показать ответ и решение

Обозначим $f(f(f(...(f(x))...))),$ где буква $f$ написана $k$ раз, за $f(k)(x)$ .

Докажем, что корнями уравнения $(k) f (x)= 0$ , являются числа $− k+ 2,− k+ 4,...,k − 2,k.$ Доказывать будем индукцией по числу $k.$

Если $k= 1,$ то корнями $f(x)= 0$ является только число $1$ , что и требовалось.

Пусть мы уже доказали, что корнями $(k) f (x)= 0$ являются числа $− k+ 2,$ $− k+ 4,...,k− 2,k.$ Заметим, что $(k+1) (k) f (a)= f (f(a));$ то есть, для того, чтобы $a$ было корнем уравнения $(k+1) f (x)= 0$ необходимо и достаточно, чтобы $f(a)$ было корнем уравнения $(k) f (x)= 0.$

Значит, $f(a)$ должно равняться одному из чисел $− k+ 2,− k+ 4,...,k− 2,k,$ т.е. расстояние от $a$ до 1 должно равняться $k,k− 2,...$ А это и есть числа $1±k,1± (k − 2),...,$ т.е. числа $− k +1,− k +3,...,k− 1,k+ 1.$ Переход доказан.

Ответ:

$− 2019,− 2017,...,− 1,1,3,...,2021$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94423

Среди чисел $a,b,c$ есть два одинаковых. А оставшееся число — другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв $a,b,c,$ знаков $+,$ $−,×,:$ и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче надо просто поиграться с выражениями. Пусть b=c. Попробуйте рассуждать от обратного. Рассмотрите a и попробуйте превратить его в дробь, например, умножив и поделив на что-то. Помните, что любое выражение можно усложнить, добавив что-то, умноженное на b - c.

Показать доказательство

Например, подойдёт такой вариант ( $b= c):$

a(a− b)(a-− c)+-b(b−-a)(b− c)+-c(c−-a)(c− b) (a− b)(a− c)+ (b − a)(b− c)+(c− a)(c− b)