Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан многочлен степени 
с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули
всех коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Источники:
Подсказка 1
Пусть Р(х) — многочлен из условия, а — его свободный член В этой задаче первым делом необходимо подумать, правда ли, что а делится на каждый из коэффициентов многочлена...
Подсказка 2
Да, это правда, так как это многочлен с целыми коэффициентами и каждый из коэффициентов является корнем. Нетрудно догадаться, что если свободный член по модулю меньше двух, то и остальные коэффициенты по модулю меньше двух. Тогда попробуйте доказать, что |a| < 2.
Подсказка 3
Это можно доказать по индукции. Не забудьте про базу при n = 1, а при переходе воспользуйтесь тем, что P(a) = 0.
Подсказка 4
Распишите Р(а) и вынесите а за скобочку. Пусть b — коэффициент при х в Р(х). Какой остаток тогда имеет b при делении на a? Чему в таком случае может быть равно b? Рассмотрите разные случаи, в одном из которых нужно будет не забыть про предположение индукции.
Пусть данный в условии многочлен с ненулевыми коэффициентами:
По условию 
— корень этого многочлена, где 
. И тогда:
Тогда 
делится на все остальные коэффициенты многочлена 
, а значит 
. Следовательно, достаточно проверить, что
.
Докажем это по индукции по степени многочлена 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
База индукции:
При 
(чего не могло быть по условию). При 
И тогда 
, а 
, откуда 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Переход индукции.
Так как 
и 
, имеем 
. Тогда 
делится на 
. Как показано выше 
делится
на 
. Значит, 
делится на 
, что возможно только при 
Если 
, то 
, и утверждение доказано.
Если 
, то преобразуем выражение дальше:
Опять-таки получаем, что
Тогда 
, что возможно только если 
. В случае если 
, то мы пришли к выражению
вида
где 
, имеющее тот же вид, что и 
, но степени на 
меньшей. Из предположения индукции отсюда следует, что
.
Если же 
, то домножим равенство на 
(эта операция не влияет на делимости коэффициентов и получим:
Для которого снова применимо предположение индукции, а значит 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
