Уравнения на НОД и НОК
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество троек натуральных чисел 
, удовлетворяющих системе уравнений
Источники:
Подсказка 1
Из второго условия системы мы понимаем, что единственными простыми делителями чисел a, b, c могут быть лишь 2 и 3. Тогда можем представить эти числа как произведение степеней 3 и 2(a=2^α₁ * 3^α₂, b=2^β₁ * 3^β₂, c=2^γ₁ * 3^γ₂). Как тогда можно перезаписать условие системы через новые переменные?
Подсказка 2
С новыми переменными мы получаем, что max(α₁, β₁, γ₁) = 15, min(α₁, β₁, γ₁) = 1, max(α₂, β₂, γ₂) = 16, min(α₂, β₂, γ₂) = 1. Отлично! Теперь можно отдельно рассмотреть условия на α₁, β₁, γ₁ и условия на α₂, β₂, γ₂. Затем найти кол-во подходящих троек в каждом случае и, перемножив, получить ответ.
Подсказка 3
Для условий на α₁, β₁, γ₁, имеем, что какое-то из чисел равно 15, второе равно 1, а третье является любым целым числом от 1 до 15 включительно. Осталось только перебрать варианты наборов чисел и сложить кол-во случаев в них. Аналогично для α₂, β₂, γ₂.
Пусть 
(никаких других простых множителей числа 
, 
содержать не могут - иначе нарушается
второе условие системы). Отсюда
Учитывая данную в условии систему, получаем соотношения
Рассмотрим первую систему 
. Возможны следующие наборы чисел 
:
набора (за счёт различных перестановок этих чисел);
— также три набора;
, где 
есть 
различных значений 
и для каждого из них 
перестановок — всего 
вариантов.
Итак, есть 
способа выбрать тройку чисел 
. Аналогично устанавливаем, что для выбора 
есть
(
— 
значений) способов. И поскольку один выбор осуществляется независимо от другого, то общее
количество способов равно 
.
Найдено количество троек для степеней одного из простых чисел только в одном случае – 2 балла.
Получено одно или оба соотношения вида {︃ max (𝛼1; 𝛽1; 𝛾1) = 𝑘, min (𝛼1; 𝛽1; 𝛾1) = 1 и {︃ max (𝛼2; 𝛽2; 𝛾2) = 𝑚, min (𝛼2; 𝛽2; 𝛾2) = 1. и других продвижений нет – 1 балл за задачу (этот балл не суммируется с указанным выше).
Неарифметическая (комбинаторная) ошибка (вместо правила произведения применено правило суммы, некоторые случаи посчитаны дважды или пропущены и т.п.) – не более 1 балла за задачу.
Неверно решена «числовая часть» (из условия сделаны неверные выводы, например, утверждается, что одно из чисел должно равняться произведению 𝑝^𝑚𝑎𝑥 𝑞^𝑚𝑎𝑥 или 𝑝𝑞; используются неверные утверждения, например, НОД(𝑎, 𝑏, 𝑐) НОК(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝑏𝑐) – 0 баллов за задачу.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
