Уравнения на НОД и НОК
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите натуральные числа 
, для которых
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте поподстовлять достаточно большие n в это уравнение и что-то заметить. Какая часть уравнения выбивается и почему?
Подсказка 2
Давайте посмотрим на выражение. Видно, что слева что-то очень большое, как минимум потому, что НОК(n,n^2+15)-это что-то (по примерным оценкам) точно большее квадрата(если мы оцениваем в общем виде), да еще, к тому же, НОК(n,n+3)-это тоже что-то большое, так как их максимальный НОД это 3(их разница делится лишь на 1 и 3). Значит, в задаче используется оценка. Подумайте как оценить каждый НОК
Подсказка 3
Любой НОК(a,b)>=max(a,b). Зная это, каждый из НОК-ов оценивается понятно, и произведение НОК-ов - кубическая функция. Но при этом квадратная ее больше или равна. Часто ли такое случается?
Подсказка 4
Ну конечно же, не часто. Потому что рано или поздно кубическая функция станет больше квадратичной. И это происходит только при n<=5. Осталось перебрать и получить ответ.
Воспользуемся очевидным неравенством 
. Отсюда следует
Заметим, что 
, то есть функция монотонно возрастает. Поскольку при 
имеем 
, то
. Заметим также, что один из НОК-ов должен делиться на 
, что не выполняется при 
, поэтому остаётся перебрать два
случая
. Получаем 
.
. Получаем 
.
решений нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
