Уравнения на НОД и НОК
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все пары натуральных чисел 
и 
таких, что их наименьшее общее кратное равно 
В качестве ответа введите все возможные значения 
через пробел в порядке возрастания.
Источники:
Подсказка 1
Из условия следует, что 1+3y делится на x, а 1+2x делится на y. Кажется, что это может дать нам неплохие оценки на x и y...
Подсказка 2
Пускай для начала 1<x≤y. Из делимости 1+3y на x следует, что 1+2x=ky. Если k>2, то x>y. Тогда k=1 или k=2. Какой из случаев не реализуется?
Подсказка 3
При k=2, 1+2x должно делится на 2, что неверно. Тогда 1+2x=y ⇒ 4+6x делится на x. Следовательно, x надо искать среди делителей 4. Пускай теперь x>y>1. Что мы можем сказать про k, где 1+3y=kx?
Подсказка 4
Верно, k<4! При этом k не может равняться 3. Если k=2, то 1+3y=2x ⇒ y=2t+1, x=3t+2. При этом 1+2x=6t+5 должно делится на 2t+1. Посмотрите на НОД(6t+5, 2t+1) и разберитесь со случаем k=1!
Пусть сначала 
Заметим, что 
не может делиться на 
иначе наименьшее общее кратное 
и 
равно 
а это меньше
В частности, 
Далее, наименьшее общее кратное 
и 
делится на 
и 
поэтому 
делится на 
и 
а значит 
делится на 
и 
делится на 
Из делимости 
на 
следует 
что вместе с предположением 
влечёт
Тогда из делимости 
на 
и 
следуют делимость 4 на 
и возможности 
Проверка
показывает, что решением в этом случае является 
Теперь рассмотрим случай 
из делимости 
на 
следует 
или 
Если
то 
делится на 
тогда 
делится на 
и 
является решением задачи.
Если 
то 
нечётно, 
Тогда 
должно делиться на 
значит
делится на 
что невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
