.16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть, наоборот, но при этом
Поскольку то их можно отделить непересекающимися окрестностями. А именно, пусть - расстояние между числами и (напомним, что ). Ясно, что именно из-за того, что - различные числа.

Тогда понятно, что если мы их окружим, например, окрестностями радиуса то эти окрестности не будут пересекаться:

Далее, по определению предела, из того факта, что найдём такое что при всех таких, что будет выполнено то есть содержится в окрестности числа

Аналогично, по определению предела, из того факта, что найдём такое что при всех таких, что будет выполнено то есть содержится в окрестности числа

Тогда, взяв получим, что все из проколотого -шара точки должны целиком лежать и в -окрестности числа и в -окрестности числа Но эти окрестности не пересекаются, поскольку расстояние между числами и равно Получили противоречие. Следовательно, предел у функции в точке всегда единственный.