.16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Действительно, воспользуемся определением непрерывности в терминах предела по Коши.

- непрерывна в точке означает, что

Но тогда, если в качестве взять, например, число 1 (не суть важно, что это именно 1, но этого нам хватит для доказательства), то при всех из шара с центром в точке мы будем иметь, что

Или, расписывая это неравенство с модулем в двойное неравенство:

Это как раз и означает, что мы нашли окрестность, а именно, этот самый шара с центром в точке , в котором ограничена сверху числом , а снизу числом . То есть, просто ограничена в этой окрестности.