.16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Числитель нашей функции будет непрерывен во всех точках - это следует из непрерывности синуса, многочлена, и теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций.

Знаменатель непрерывен в каждой точке , как композиция непрерывного многочлена от двух переменных и всюду непрерывного корня.

Следовательно, по теореме о непрерывности частного, дробь будет непрерывна в точках, где знаменатель отличен от 0. То есть, мы заведомо можем сказать, что во всех точках таких, что наша дробь непрерывна. А что же будет происходить в точке ?

Для этого нужно отдельно вычислить .

Заметим, что при близких к . Значит:

Тогда имеем:

Но при , значит, и тем более . А значит и просто при .

Следовательно, предел при стремлении к началу координат равен её значению в точке. А, значит, непрерывна во всех точках