.16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Непрерывность всюду в , где следует из непрерывности суммы, отношения и непрерывности многочленов, поскольку всюду за пределами множества, где , функция является суммой многочлена и дроби из многочленов, а поэтому непрерывна.

Что происходит при , то есть на прямой ?

1 случай. Пусть . Пусть , то есть лежит на прямой , но при этом отлична от начала координат. Тогда, если вдоль прямой , то при .

Однако если вдоль прямой , то при .

Следовательно, при стремлениях к точке вдоль прямых предел нашей функции отличен от значения в этой точке. Следовательно, всюду на прямой , кроме начала координат, функция - разрывна.

2 случай. Пусть - начало координат.

Тогда, с учётом того, что

А также, что

Имеем, что при функция .

Следовательно, функция - непрерывна в точке .

Значит, множеством точек разрыва функции является вся ось , кроме начала координат.