.16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Поскольку и числитель и знаменатель - многочлены, то по теореме об отношении непрерывных функций, их отношение заведомо будет непрерывно во всех тех точках плоскости , в которых знаменатель , то есть для всех , не лежащих на прямой .

А что же будет при , то есть при ?

В точках этой прямой наша функция вообще не определена (на ноль делить нельзя), а раз не определена, то заведомо разрывна.

Однако можно даже уточнить, как именно она разрывна в точках прямой .

1 случай. Пусть , но при этом . То есть рассмотрим случай, когда точка лежит на прямой , но при этом эта точка - не начало координат.

Тогда:

(т.к. точка лежит на прямой )

Таким образом, во всех точках прямой , кроме начала координат, у нашей функции есть конечный предел, несмотря на то, что в самих этих точках она не определена. Так что, если бы мы доопределили её этим пределом в этих точках, получилась бы вообще непрерывная функция. Поэтому мы можем сказать, что в точках прямой , кроме начала координат, наша функция имеет устранимый разрыв.

2 случай. Точка . А вот в ней все ббудет совсем плохо, потому что

То есть, поскольку при стремлении к началу координат знаменатель - очевидно, бесконечно мал, а числитель равен единице, то наша функция расходится к бесконечности и можем сказать, что в начале координат у неё разрыв II рода.