.16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Действительно, фиксируем . Тогда наша функция при таком фиксированном будет непрерывна по в точке . Потому что

то есть при фиксированном наша функция по вообще константа, а поэтому непрерывна по в нуле.

По совершенно аналогичным соображениям можно сказать, что наша функция при фиксированном будет непрерывна по в точке . Потому что

Но по совокупности переменных, то есть в смысле обычного определения непрерывности функции многих переменных, наша функция не будет непрерывна в точке . Более того, в этой точке она даже не будет иметь предела.

Действительно, рассмотрим траекторию . Тогда вдоль этой траектории

В то же самое время, если мы рассмотрим траекторию , то вдоль этой траектории

Тогда получается, что у нас есть две траектории, вдоль которых наша функция при стремлении к началу координат стремится к двум разным пределам. Но это означает, что никакого предела у при нет. Потому что в любой окрестности нуля обязательно найдутся точки как первой, так и второй траектории.