Тема ДВИ по математике в МГУ

Тождественные преобразования на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#63905Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $a+ b+ c=5$ и $ab+ bc+ac= 4$ . Найдите $a2 +b2+ c2.$

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на то, что нам дано и что мы хотим найти. Подумайте о том, какие формулы могут связывать произведения чисел, сами числа и их квадраты?

Подсказка 2

Верно, это формула квадрата суммы трех слагаемых! Воспользуйтесь ей и преобразуйте выражение так, чтобы можно было из того, что нам дано найти то, что у нас просят!

Показать ответ и решение

$(a+ b+c)2 = a2+b2+ c2 +2(ab+bc+ ac)$ , откуда $a2+ b2+ c2 =52− 2⋅4= 17.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#89908Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $∘ ----√--∘ ---√-- √- 6 4− 2 3⋅ 31+ 3⋅ 34.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно упростить выражение. Может, как-то можно упростить выражение под корнем?

Подсказка 2

Точно! Выражение под корнем — это полный квадрат (√3-1)². Мы видим, что выражение в первом корне является сопряжённым к выражению во втором корне.

Показать ответ и решение

Заметим, что $4= 1+ 3,$ откуда под первым знаком корня имеем:

∘ ------- ∘---------- -------- ------- ∘------ 6 4− 2√3 = 63 − 2√3 + 1= ∘6(√3− 1)2 = 3∘ |√3-− 1|= 3√3 − 1.

Вернемся к исходному выражению и применим формулу разности квадратов:

∘ ------ ∘ ------ 3√3 − 1⋅ 3 1+ √3⋅√34-= √33-−-1⋅ 3√4-= 3√2-⋅4= 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#90114Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $---2√--+ --2-√-. 7+ 4 3 7− 4 3$

Показать ответ и решение

Приведем дроби к одному знаменателю:

2(7− 4√3)+ 2(7+ 4√3-) -------√-------√----. (7+ 4 3)(7− 4 3)

Заметим в знаменателе разность квадратов и раскроем скобки в числителе:

14 − 8√3-+ 14+ 8√3 28 ------49−-48----- = 1-= 28.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90138Максимум баллов за задание: 7

Найдите целое число, задаваемое выражением:

( 1 1 )2 ( 1 1 )2 √-----+ √----- + √-----− √----- . 2 − 1 2 +1 2− 1 2+ 1

Показать ответ и решение

$( )2 ( )2 √--1--+ √--1-- + √-1---− √-1--- = 2− 1 2(+√1 √ 2 − 1) 2( +√1- √- ) -2-+1-+--2−-1- 2 --2+-1−--2-+1- 2 = (√ 2− 1)(√2 +1) + (√2− 1)(√ 2+ 1) = ( 2√2- )2 ( 2 )2 ( 2√2 )2 ( 2 )2 = -√--2--- + -√--2--- = 2−-1 + 2−-1 = ( 2) − 1 ( 2) − 1 √- 2 2 = (2 2) + 2 = 4⋅2+ 4= 8+ 4 =12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90139Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее $∘ ------ 43+ 34 34−-43.$

Показать ответ и решение

43+ 34 64+ 81 145 9 34−-43 = 81−-64=-17 = 817.

Так как $4< 8-9 < 9 17$ , то

∘--- √- -9 √- 2= 4 < 817 < 9= 3.

таким образом, искомое целое число равно 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#90140Максимум баллов за задание: 7

Найдите число, задающееся выражением $√3-+ √-3-+ √11. 416 327 36$

Показать ответ и решение

3 3 11 3 3 11 9 6 11 26 13 4√--+ √3--+ √---= 2 + 3 + 6-= 6 + 6 +-6 = 6-= 3-. 16 27 36

Ответ:

$13 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#91136Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением

271∕3 log 25 41 251∕2 + -√--5--π-+ 15. 3 2⋅cos4

Показать ответ и решение

$1∕3 √3-- 271∕2 +-√log5-25-π + 41-= √-27+ ---2-√--+ 41 = 25 3 2⋅cos4 15 25 3√2 ⋅-2- 15 2 = 3 + 2+ 41 = 9-+ 10+ 41 = 60= 4. 5 3 15 15 15 15 15$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#91774Максимум баллов за задание: 7

Найдите целое число, ближайшее к числу $( ) 1 1 1 1 1 2 2+ 3+ 4+ 5 + 6$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение:

$( ) ( ) 2 1 + 1+ 1+ 1 + 1 = 2 30+ 20+ 15+ 12 + 10 = 2 3 4 5 6 60 60 60 60 60 87 29 =2 ⋅60 = 10 = 2,9.$

Данное число находится между числами 2 и 3. Вычислим расстояние до указанных целых чисел: $|2− 2,9|=0,9$ , $|3− 2,9|= 0,1$ . Поскольку $0,1< 0,9$ , то ближайшим целым числом является 3.

Ответ: 3