Последовательности и прогрессии на ДВИ

Пусть — разность прогрессии. Переобозначим Так как прогрессия состоит из натуральных чисел и строго возрастает, то и — натуральные числа. По формуле суммы арифметическое прогрессии имеем

Умножим это равенство на тогда получится следующее уравнение в целых числах

Заметим, что Из уравнения следует, что Кроме того, по условию — нечетное число, поэтому может быть равно или

Рассмотрим эти три случая:

1.

Тогда получится уравнение то есть Но поэтому и такое равенство невозможно.

2.

Тогда получится уравнение то есть Возьмем и Получается верное равенство, поэтому существует подходящая арифметическая прогрессия.

3.

Тогда получится уравнение то есть Заметим, что и подходят. То есть такая прогрессия подходит.

Таким образом, или