Тема ДВИ по математике в МГУ

Последовательности и прогрессии на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91953

Натуральные числа $a ,...,a 1 n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n$ , если известно, что $n$ нечётно, $n> 1$ и сумма $a1+ ...+ an$ равна 2024.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия и ее сумма, быть может, тогда сразу записать условие с помощью переменных? Какое уравнение получится?

Подсказка 2

n(2a + (n-1)d)/2 = 2024. Итак, условие на сумму записано. Какое условие мы еще не использовали? Что можно сделать с этим уравнением?

Подсказка 3

Домножим обе части уравнения на 2 и используем условие на нечётность n!

Подсказка 4

n(2a + (n-1)d) = 4048. Каким может быть n, если он нечётный? Что можно сказать про связь 4048 и n?

Подсказка 5

n должно быть нечётным и делить 4048! Осталось лишь разобрать случаи нечётных делителей 4048 ;)

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Переобозначим $a =a . 1$ Так как прогрессия состоит из натуральных чисел и строго возрастает, то $a$ и $d$ — натуральные числа. По формуле суммы арифметическое прогрессии имеем

n(2a +(n− 1)d) -----2------= 2024

Умножим это равенство на $2,$ тогда получится следующее уравнение в целых числах

n(2a +(n− 1)d)= 4048

Заметим, что $4048 =24⋅11⋅23.$ Из уравнения следует, что $. 4048.. n.$ Кроме того, по условию $n$ — нечетное число, поэтому $n$ может быть равно $11,$ $23$ или $11⋅23= 253.$

Рассмотрим эти три случая:

1.: $n =253.$ Тогда получится уравнение $253(2a+ 252d)= 4048,$ то есть $2a +252d= 16.$ Но $d≥ 1,$ поэтому $2a+ 252d >16,$ и такое равенство невозможно.
2.: $n =11.$ Тогда получится уравнение $11(2a +10d)=4048,$ то есть $2a+ 252d =368.$ Возьмем $d= 1$ и $a= 179.$ Получается верное равенство, поэтому существует подходящая арифметическая прогрессия.
3.: $n =23.$ Тогда получится уравнение $23(2a +22d)=4048,$ то есть $2a+ 22d= 176.$ Заметим, что $a= 11$ и $d =7$ подходят. То есть такая прогрессия подходит.

Таким образом, $n= 11$ или $n = 23.$

Ответ: 11; 23

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92343

Числа $a ,a,...,a 1 2 20$ образуют арифметическую прогрессию. Найти её разность, если известно, что

2 2 2 a1+a3+ ⋅⋅⋅+ a19 =1330,

2 2 2 a2+ a4+⋅⋅⋅+a20 = 1540

и $a10+a11 = 21.$

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия, так что обозначим ее разность за d. Как можно записать уравнение на сумму из условия через d и один из членов прогрессии?

Подсказка 2

2a₁+ 19d = 21. Теперь подумаем, а как удобнее всего воспользоваться суммой квадратов членов. Интересно, что член с чётным индексом — это соответствующий член с нечетным индексам, увеличенный на d.

Подсказка 3

Отнимите от второго уравнения первое и рассмотрите разность соответствующих квадратов!

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии за $d.$ Тогда по условию

a10+ a11 = a1 +9d+ a1+10d= 2a1+ 19d= 21.

Выразим теперь разность сумм квадратов членов с чётными и нечётными индексами.

a2− a2= d2+ 2a d,...,a2 − a2 = d2+2a d. 2 1 1 20 19 19

Складывая все 10 этих выражений, получаем

a2+ a2+ ⋅⋅⋅+ a2 − (a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2)= 10d2+ 2d(a1+ ⋅⋅⋅+ a19)= 2 4 20 1 3 19

= 10d2+10(2a1+ 18d) =10d(d +(21− d))= 210d= 1540 − 1330= 210.

Отсюда $d= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89775

Возрастающая геометрическая прогрессия $a ,a,a ,... 1 2 3$ удовлетворяет условиям $a − a =3 3 1$ , $a − a = 60 7 3$ . Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть q — знаменатель прогрессии. Выразите а₃ и а₇ через а₁ и q, а затем запишите через а₁ и q данные в условии уравнения.

Подсказка 2

Второе уравнение можно аккуратно разложить на множители, не возникает ли при этом явного сходства каких-то множителей с первым уравнением? Подставьте эти множители во второе уравнение!

Подсказка 3

Если всё сделано верно, то у вас получится биквадратное уравнение относительно q, решите его! Все ли полученные решения удовлетворяют условию о возрастании прогрессии?

Подсказка 4

Теперь, когда установлены а₁ и q, мы можем записать сумму!

Показать ответ и решение

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

{ a (q2− 1)= 3, a1(q6− q2)= 60 1

Второе уравнение равносильно

aq2(q2− 1)(q2+ 1) =60. 1

Учитывая первое уравнение, получаем $q4+ q2− 20= 0,$ то есть

(q2+ 5)(q2 − 4)= 0,

откуда $q2 = 4.$ Стало быть, $q =2,$ ибо $q = −2$ противоречит возрастанию прогрессии.

Подставляя $q = 2$ в любое из двух уравнений, получаем $a1 = 1.$ Стало быть, $an = 2n−1$ для любого $n ≥1,$ то есть искомая сумма равна

1+2 +22+ 23+...+26 = 27− 1=127.

Ответ:

$127$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90317

Последовательность $a,a ,a,... 1 2 3$ получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть $a1 = 2$ , $a2 = 3$ , $a3 =5$ , $a4 = 6$ , $a5 = 7$ , $a6 = 8$ , $a7 = 10$ и т.д.). Найдите $a2023$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте рассмотрим число n, которое находится между двумя полными квадратами – m² и (m+1)². Подумайте, какой у него будет порядковый номер в последовательности?

Подсказка 2

Если бы это была последовательность натуральных чисел, то номер был бы равен n, но мы вычеркнули уже m чисел, так что порядковый номер равен n - m! Тогда нам просто нужно подобрать такие m и n, чтобы выполнялось 2023 = n - m и m² < n < (m+1)²

Показать ответ и решение

Для каждых натуральных чисел $n, m$ таких что

2 2 m < n< (m +1)

справедливо $n =an−m$ . Стало быть, для каждого $n,$ удовлетворяющего условию

2 2 45 = 2025< n< 2116= 46

справедливо $n =an−45.$ Поскольку $n − 45= 2023$ при $n =2068,$ получаем $a2023 = 2068.$

Ответ: 2068

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90133

Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии в два раза больше суммы первых десяти членов. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что пятый её член равен 7.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть а — первый член прогрессии, d — её знаменатель. Вспомните формулу n-ного члена прогрессии и суммы первых n членов, запишите уравнением условие о соотношении сумм.

Подсказка 2

Из полученного линейного уравнения можно сделать вывод о соотношении а и d.

Подсказка 3

Запишите формулой 5-й член прогрессии и подставьте в неё ранее найденное отношение. Задача убита!

Показать ответ и решение

Пусть данная прогрессия имеет вид $a =a +(k− 1)d k$ . Из условия получаем

a1+ ⋅⋅⋅+ a15 =15a+ 105d =2 ⋅(a1+ ⋅⋅⋅+a10)= 20a+ 90d

a= 3d

Тогда

a+ 4d= a+ 4a= 7 3

a= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63902

Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для частного двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: нам известны 2 члена прогрессии, а нужно найти 3ий, который на известном “расстоянии” от них. Тогда достаточно найти частное соседних членов в нужной степени и домножить на него известное число!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии, $b$ – первый член, тогда $b =bqn−1 n$ . По условию

3 53 b4 = bq = 5,b54 =bq = 160,

откуда

50 10 q = b54∕b4 = 32 ⇐⇒ q = 2

Тогда

b64 = bq63 = b54⋅q10 = 160⋅2

Ответ:

320

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63903

Числа $a ,a,a ,...,a 1 2 3 20$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 9, а сумма последних десяти членов равна 11. Найдите сумму $a6+a7+ ...+ a14+a15$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 203, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для разности двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: посмотрите, на сколько отличаются сумма, которую найти нужно и известные суммы. Тогда достаточно найти чему равно соответствующее выражение и прибавить его значение к известной сумме (или вычесть из известной) и задачка будет убита!

Показать ответ и решение

Пусть $d$ – разность прогрессии, $a$ – первый член, тогда $a = a+ (n − 1)⋅d n$ . Из условия получаем

9= a1+ ...a10 = a+ ...(a+ 9d)= 10a+ 45d

11= a11+⋅⋅⋅+a20 = 10a +145d, a6+⋅⋅⋅+a15 = 10a +95d

Откуда

11− 9= (10a+ 145d)− (10a+ 45d)= 100d=⇒ 50d =1,

а значит,

a6+ ⋅⋅⋅+ a15 =(10a+ 45d)+ 50d= 9+ 1= 10

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31394

Сумма положительной бесконечно убывающей геометрической прогрессии в $4$ раза больше её второго члена. Во сколько раз второй член меньше первого?

Источники: Вступительные на факультет почвоведения МГУ, 2007 год

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первый член прогрессии за b. Тогда наше условие переписывается так: b/(1− q) = 4bq. Теперь вспомним, что прогрессия непостоянна, (то есть не убывает), как это можно использовать теперь?

Подсказка 2

Верно, делим на b! И домножаем на 1-q для удобства. Попробуйте разложить получившееся уравнение на множители.

Показать ответ и решение

Пусть $b 1$ и $q$ — первый член и знаменатель прогрессии соответственно, тогда по условию имеем:

b1 1−-q = 4b1q

Так как $b1 ⁄= 0,$ то на $b1$ можно поделить:

-1--= 4q 1− q

(2q− 1)2 =0

Таким образом, $q = 12,$ то есть второй член в $2$ раза меньше первого.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105453

Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью $4$ при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не превосходит $100?$

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача с арифметической прогрессией, поэтому сразу обозначим её первый член за a₁. Чему тогда равна сумма первых n членов прогрессии?

Подсказка 2

Сумма первых n членов равна (a₁ + 2(n-1))n. Отлично, как тогда записывается условие задачи?

Подсказка 3

По сути, мы решаем квадратное неравенство a₁² + (a₁ + 2(n-1))n - a₁ ≤ 100. Если прогрессия существует, то мы найдем a₁. При каких условиях это произойдёт?

Подсказка 4

Запишем условие на дискриминант квадратного неравенства!

Показать ответ и решение

Пусть $a 1$ — первый член арифметической прогрессии, разность $d= 4,$ $n$ — количество членов прогрессии, $S$ — сумма прогрессии. Тогда выразим $S :$

2a1 +4(n− 1) ----2------⋅n = (a1+ 2(n − 1))⋅n

В соответствии с условием, сумма первого члена в квадрате и остальных членов (без первого) не превосходит 100, то есть:

a21+ (a1+ 2(n − 1))⋅n− a1 ≤100

a21 +a1(n − 1)+ 2n2− 2n − 100≤ 0

Если у данного уравнения существуют решения, то такая прогрессия (с найденным $a1$ ) существует. Решения существуют, если дискриминант данного выражения неотрицательный, то есть:

2 2 (n − 1) − 8n + 8n+ 400≥0

−7n2+ 6n+ 401≥ 0

Из неравенства следует $3+ 16√11- n< ---7----,$ поэтому $n ≤8.$

$n= 8$ уже возможно, например, при $a1 = −3,$ тогда сумма из условия как раз в точности равна $9+ (−3 +14)⋅8+3 =100.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90146

Дана возрастающая геометрическая прогрессия $b1,b2,b3,...,$ состоящая из положительных чисел. Известно, что сумма первого и третьего членов этой прогрессии равна второму члену, умноженному на 10/3. Найдите отношение $b6+ b7+ b8 +b9+ b10$ к $b1 +b2+ b3+ b4 +b5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введём стандартные обозначения. Пусть q — знаменатель прогрессии, Sₙ — сумма первых n членов. Тогда как можно переписать искомое отношение через b₁ и q?

Подсказка 2

(S₁₀ - S₅) / S₅ = q⁵. Теперь нужно найти q. Как это можно сделать?

Подсказка 3

Составим уравнение: b₁ + b₃ = (10b₂) / 3. Перепишем его через b₁ и q и найдём q.

Подсказка 4

Мы получили квадратное уравнение на q. Подумайте, почему один из корней не подходит?

Показать ответ и решение

Пусть $q$ — знаменатель, $Sn$ — сумма $n$ первых членов указанной прогрессии. Так как прогрессия состоит из положительных членов и возрастает, то $b1 > 0,$ $q >1.$ Выразим указанные в условии суммы через $b1$ и $q :$

b1(q5−-1)- b1+ b2+ b3+ b4+ b5 = S5 = q − 1 ,

$b1(q10− 1) b1(q5− 1) b6 +b7+ b8+ b9+b10 = S10− S5 =-q-− 1--− --q−-1--= b1(q10− q5) b1q5(q5 − 1) = --q-− 1---= --q-− 1--.$

Искомое отношение равно

b6-+b7+-b8+-b9-+b10- b1q5(q5−-1) b1(q5−-1) 5 b1+ b2 +b3+ b4+ b5 = q− 1 : q − 1 = q.

Также из условия задачи следует, что

b1+ b3 = 10b2 3

или

b1+ b1q2 = 10b1q. 3

Разделим полученное уравнение на $b1 ⁄= 0,$ умножим на 3. В результате получим

2 3+ 3q = 10q.

или

2 3q − 10q+ 3= 0.

Полученное уравнение имеет корни $q1 =3$ и $q2 = 1. 3$ Условию $q > 1$ удовлетворяет только первый корень, следовательно

b6+-b7-+b8+-b9+-b10-= 35 = 243. b1+ b2+ b3 +b4+ b5

Ответ: 243

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90147

Дана арифметическая прогрессия. Ее двадцатый член равен 1, а член с номером 2000 равен 199. Найдите член этой прогрессии с номером 2020.

Показать ответ и решение

По условию $a20 = 1,$ $a2000 = 199.$ Определим разность прогрессии $d.$ Имеем:

a = a + 1980d; 199 = 1+ 1980d; d = 0,1. 2000 20

Тогда

a = a + 20d= 199+ 20⋅0,1 =199+ 2 =201. 2020 2000

Ответ: 201

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91137

Сумма первых десяти членов арифметической прогессии равна 30. Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите разность арифметической прогрессии.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть a — это первый член нашей исходной прогрессии, а d — разность. Какое уравнение можно записать на них? А как применить условие на геометрическую прогрессию?

Показать ответ и решение

Пусть $a$ и $d$ — первый член и разность арифметической прогрессии. По формуле суммы десяти членов этой прогрессии имеем