Тема ДВИ по математике в МГУ

Тригонометрия на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90014Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x−-sinx- √- ( 2 ) 2⋅cos3x+ cosx = 3⋅ 1− tg x .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а как можно преобразовать числитель и знаменатель? Какие формулы можно применить?

Подсказка 2

Распишем числитель и знаменатель по формулам преобразования суммы триг. функций в произведение. Чему тогда равна левая часть после преобразований?

Подсказка 3

Получаем, что 2*tg(x) = √3 * (1 - tg²(x)). Несложно заметить, что это квадратное уравнение относительно tg(x). Решаем его и не забываем про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Преобразуем разность синусов и сумму косинусов в произведения:

2cos2xsinx √ - 2 2⋅2cos2x cosx = 3(1− tgx)

Запишем ОДЗ:

( π πk ||{ x⁄= 4 +-2 cos3x+ cosx ⁄=0;cosx ⁄=0 ⇐ ⇒ || π ( x⁄= 2 +πk, k ∈ℤ

Тогда получаем следующее:

√- √ - √- 2tgx= 3(1 − tg2x) ⇐ ⇒ 3tg2x +2tgx− 3 =0

⌊ √- ⌊ 2π tgx= −√-3 | x= 3-+ πk ⌈ tgx= -3- ⇐⇒ |⌈ π 3 x= 6 + πk,

Объединяя решения и пересекая их с ОДЗ, получаем:

x = π+ πk, k∈ℤ 6 2

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 6 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#127156Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение корней уравнения

x2+-x+-1 x2-− x+-1 x2-− 4x+-1 π−-2 sin 2x + cos 2x = x ⋅cos 4 .

Показать ответ и решение

Положим $t= x2+1-= 1(x+ 1) 2x 2 x$ . Тогда исходное уравнение примет вид

( 1) ( 1) π−-2 sin t+ 2 + cos t− 2 = 2(t− 2)cos 4 .

Заметим, что

sin(t+ 1∕2)+ cos(t− 1∕2)= sint(cos(1∕2)+ sin(1∕2))+cost(cos(1∕2)+ sin(1∕2)) = = (sin t+ cost)(cos(1∕2)+sin(1∕2))= 2cos(t− π∕4)cos(π∕4− 1∕2)

Получаем

cos(t− π∕4)= t− 2.

На отрезке [1,3] функция $cos(t− π∕4)$ убывает, ибо $3< π < 4$ . Функция же $t− 2$ на этом отрезке возрастает. Следовательно, графики этих функций имеют ровно одну общую точку при некотором $t= t0$ . Поскольку $t0 > 1$ , уравнение $x2− 2t0x+ 1= 0$ имеет два различных корня. Их произведение равно $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#63998Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin xcos3x= sin3xcos5x

Источники: ДВИ - 2020, вариант 206, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть произведения синусов на косинусы. Давайте применим соответствующую формулу!

Подсказка 2

Супер! Теперь уничтожаем одинаковые слагаемые и смотрим, как расправиться с остальными. Обратите внимание на то, что один из полученных углов вдвое больше другого!

Подсказка 3

После того, как воспользуетесь формулой синуса двойного угла, получаем почти что обычное уравнение, которое мы прекрасно умеем решать! Выносим общий множитель за скобки и уничтожаем задачу!

Показать ответ и решение

sinxcos3x= sin3xcos5x⇐⇒ sin4x− sin2x= sin8x− sin2x

sin4x(cos4x − 1∕2)= 0⇐⇒ x =kπ∕4,x= ±π∕12 +kπ∕2,k ∈ℤ

Ответ:

$πk∕4,± π∕12+ πk∕2,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#63999Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 4 8sin x +8cos x= 8cos2x+ 9

Источники: Вместо ЕГЭ - 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами уравнение с двумя триг. функциями. А можем ли как-то перейти всего к одной? С одним неизвестным выражением проще работать.

Подсказка 2

Можем раскрыть косинус двойного угла и применить ОТТ ко всем синусам (или ко всем косинусам), ведь они в удобных степенях! Но пока перед нами все же уравнение 4ой степени. А как можно упростить его внешний вид?

Подсказка 3

Конечно, ввести замену квадрата триг. функции! Получим обычное квадратное уравнение, которое легко решится. Остается только добить до ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим $cos2x = t$ и получаем

2 2 8(1− t) + 8t =8(2t− 1)+9

2 2 8(1− 2t+t )+8t − 16t− 1= 0

16t2− 32t+7= 0

√---- t = 16±-16⋅9 =1 ± 3 16 4

Так как $0≤ t≤ 1,$ то может быть только $t= 1. 4$ Получаем

cosx= ±1 ⇐⇒ x =± π+ πn,n∈ ℤ 2 3

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90036Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin4xcos10x= sinx cos7x.

Источники: ДВИ - 2018, задача 3 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что мы можем сделать. У всех функций аргументы разные, хотелось бы, чтобы они были одинаковыми. Какие формулы можно применить?

Подсказка 2

Формулы произведений синуса и косинуса! Два синуса сократятся. Имеем разность синусов, равную 0. Что можно сделать?

Подсказка 3

Можно приравнять синусы и раскрыть их, а можно использовать формулу разности синусов.

Показать ответ и решение

Домножим уравнение из условия на $2$ и применим к нему формулу разности синусов.

sin14x− sin6x= sin8x− sin6x.

sin14x − sin 8x = 0

Далее снова применим формулу разности синусов:

2sin3xcos11x =0

[ sin3x= 0 cos11x= 0

[ x= πk3 ,k∈ ℤ x= 2π2 + π1k1,k∈ ℤ

Ответ:

$πk ; π-+ πk(k∈ ℤ) 3 22 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#64398Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| -----x---- ( 2 2) ∘ π- { cos(x2y− y2) − y⋅tg x( − y )= ∘2; |( cos(x2-− y2) − x⋅tg x2− y2 = π3.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 8 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе тригонометрических функций у нас стоит разность квадратов, попробуем получить её не только в аргументах, но и множителем! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов помогает нам: запишите вместо нашей системы равносильную ей, полученную сложением и вычитанием наших исходных уравнений. А затем можно перемножить имеющуюся пару уравнений.

Подсказка 3

Тригонометрическая формула, связывающая квадрат косинуса с квадратом тангенса поможет нам сделать интересный вывод! Таким образом мы узнаём значение x² - y²

Подсказка 4

Остаётся подставить найденное в систему и решить линейные уравнения!

Показать ответ и решение

Будем получать $t= x2 − y2$ не только под тригонометрическими функциями, для этого сначала напишем разность и сумму уравнений, а затем перемножим полученные равенства (активно пользуясь формулой разности квадратов)

({ (-1- ) ∘ π- ∘-π ( ) (x +y)(cos1t − tgt)= ∘ 2π + ∘-3π =⇒ t-12-− tg2t = π − π = π ( (x − y) cost + tgt = 2 − 3 cos t 2 3 6

Как известно, $1 ∀t: cos2t = tg2t+ 1$ , откуда скобка равна единице и $π t =-6$ . Остаётся подставить результат в систему

( 2 1 ∘π- ( ∘--- ( √- √-√- { √3x −√3-y = ∘-2 ⇐ ⇒ { 2x− y = 3π2- ⇐⇒ { x= 2√-33√+2√2√π ( √23y −√13-x= π3 ( 2y− x= √π ( y =-33+√22-2 π

Ответ:

$(2√3√+√2√π,√3+√2√2√π) 32 32$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#90013Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin7x+ sin6x= sinx.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 3 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас сумма синусов — быть может, преобразуем её? Какой формулой можно воспользоваться?

Подсказка 2

Распишем её как сумму синусов! Интересно, что у нас в аргументе появляется половинный угол — тогда сделаем его и в правой части уравнения! Какой формулой воспользуемся?

Подсказка 3

Распишите правую часть как синус двойного угла и вынесите общий множитель.

Подсказка 4

Итак, имеем, что произведение cos(x/2) на скобку равняется нулю. Осталось лишь разобрать случаи!

Показать ответ и решение

Запишем сумму синусов в левой части как произведение, а в правой части распишем синус как синус двойного угла:

(13x) (x) (x) (x) sin7x+ sin6x= sinx ⇐⇒ 2sin 2 cos 2 = 2sin 2 cos 2

⌊ (x) ( )( ( ) ( )) | cos 2 =0 2cos x2 sin 132x − sin x2 = 0 ⇐⇒ |⌈ (13x) ( x) sin -2- = sin 2

⌊ x= π+ 2πk,k ∈ℤ |⌈ x= πk3 ,k∈ ℤ x= π7 + 2π7k,k∈ ℤ

Ответ:

$π +2πk; πk; π + 2πk; k∈ℤ 3 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#49146Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2( 5x- 5π) 1 cos x− cosxsin 4 − 12 + 4 =0.

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что наше уравнение квадратное относительно косинуса! Давайте попробуем его решить, мы хотим, чтобы дискриминант был >= 0. При каком условии это выполняется?

Подсказка 2!

Дискриминант: sin^4(...) - 1, значит sin^4(...) должен быть равен 1! Осталось только разобраться, чему в таком случае должен быть равен cosx!

Показать ответ и решение

Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $cosx:$ потребовать, чтобы его дискриминант $sin4(5x− 5π)− 1 4 12$ был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен $±1$ . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:

Пусть для краткости $2(5x 5π) a= cosx,b= sin 4 − 12$ . Ясно, что $− 1≤a ≤1,0≤ b≤ 1.$ У нас есть уравнение $2 1 b 2 1−b2- a − ab+ 4 = 0 ⇐⇒ (a− 2) + 4 =0.$ Но так как $2 1− b ≥0,$ то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:

{ b a −22= 0 1 − b = 0

С учётом $b≥ 0$ получаем $b= 1,a= 1. 2$ Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:

{ cosx= 1 sin2(5x2− 5π)= 1 4 12

то есть

{ cosx= 1 cos(5x2− 5π)= 0 4 12

Отсюда уже находим условия на $x$ :

{ x= ± π+ 2πk,k∈ ℤ 5x= 53π+ π +πn,n ∈ℤ 4 12 2

Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры $n$ и $k$ . Выразим $x$ :

5x= ±5π +10πk= 11π+ 4πn =⇒ 11±5-= 10k − 4n 3 3 3

Так как в правой части целое число, в левой может быть только $11−5-=2 3$ и тогда

1 =5k − 2n ⇐⇒ 2n= 5k− 1

окончательно $k= 2m +1,n= 5m +2, m ∈ ℤ.$

В итоге ответ $x = π+ 2πk = 7π-+4πm 3 3$ уже для любого целого $m.$

Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая $x = π. 3$ Но определять период всё равно придётся из уравнения.

Ответ:

$7π +4πm, m ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#63563Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos3x- sin3x- sin2x- cos2x- sin 2x + cos2x = cos3x + sin 3x .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемые-дроби не очень удобны: приводим к общему знаменателю каждую из частей уравнения! А что получилось в числителе?

Подсказка 2

Это же формула косинуса суммы! При каких условиях теперь может получиться равенство?

Подсказка 3

Либо числитель равен нулю, либо знаменатели равны. С первым проблем не возникает, решаем и сверяемся с ОДЗ. А что можно сделать с равенством знаменателей?

Подсказка 4

Перед нами синус двойного угла! Только двоек не хватает (но их мы легко добавим :) ). Какую формулу теперь можно применить, чтобы не раскрывать обратно по синусу двойного угла?

Подсказка 5

Формулу разности синусов! Она как раз даст нам удобное произведение, которое мгновенно распадется на простейшие тригонометрические уравнения. Решаем их и задачка убита!

Подсказка 6 (отбор корней)

Пересекать с ОДЗ полученные корни лучше всего на тригонометрической окружности. Отмечаем на ней точки, которые хотим пересечь с ОДЗ одним цветом, точки для серий из ОДЗ (которые как раз хотим “выколоть”) другим и оставляем те корни, которые не совпали!

Показать ответ и решение

Приводя к общему знаменателю:

cos3xcos2x+-sin3xsin2x cos3xcos2x-+sin-2x-sin3x sin2xcos2x = cos3xsin 3x

В каждой дроби сверху записан $cos(3x− 2x)=cosx$ . Если $cosx= 0$ , то $sin2x =0$ , что невозможно в силу ОДЗ, то есть:

sin2xcos2x =cos3xsin3x⇐ ⇒ sin4x= sin6x⇐ ⇒ sinxcos5x =0

Здесь $sinx$ не подходит по тем же причинам. Осталось только $cos5x =0,x= -π+ πn 10 5$ . Чтобы проверить ОДЗ, посмотрим на корни для отрезка $[0,2π]$ — это $π-,3π,...19π 10 10 10$ . Среди всех этих решений 5 в знаменателе сократится только для $5π 10$ и $15π 10$ — в этих точках $sin2x$ снова будет равен нулю, но для остальных 5 останется в знаменателе и не исчезнет для выражений $2x$ и $3x$ , поэтому синусы и косинусы с аргументами $2x$ и $3x$ не могут равняться нулю в таких точках — помним, что в несократимом виде в знаменателе может остаться только двойка для равенства нулю синуса или косинуса. То есть нужно исключить только $n= 2+5k,k∈ ℤ$ (5 нужна, чтобы задать период $π$ между “плохими” корнями).

Ответ:

$-π+ πn,n∈ ℤ∖ {2+ 5k,k∈ℤ} 10 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#64000Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tg2x−-2sinx tg2x+ 2sinx =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, при каких условиях дробь равна 0? Они будут составлять систему!

Подсказка 2

В полученных выражениях есть и синусы и тангенсы. Стоит все переписать через синусы и косинусы, ведь их связь нам более привычна! А заодно и общий множитель найдем, применив формулы двойных углов :)

Подсказка 3

Остается решить только несложные уравнения из системы и пересечь соответствующие результаты! Не забывайте, что для условия со знаком “не равно” необходимо, чтобы оба множителя одновременно были не равны нулю, а не “хотя бы один”, как со знаком равенства.

Показать ответ и решение

Выпишем эквивалентную систему

(| [ sinx= 0 { 2sinxcosx− 2sinx =0 |||{ cosx= 2cos2x − 1 22csiosn2xxc−os1x ⇐⇒ | 2cos2x−1 + 2sinx ⁄=0 |||( sinx⁄= 0 2 cosx ⁄=−2 cos x+ 1

Отсюда $sinx ⁄=0$ , при этом $cosx∈ {1,− 1} 2$ , где первое значение невозможно (тогда $sinx =0$ ). После несложной проверки ОДЗ, получаем $x= ±2π+ 2πn. 3$

Ответ:

$± 2π +2πn, n ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#80648Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin5x cos5x- sinx- -cosx- sinx − cosx = sin5x − cos5x

Источники: ДВИ - 2013, вариант 2, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем правую и левую части уравнения. Сразу хочется избавиться от этой разности дробей, поэтому логично привести выражения к общему знаменателю. Заметим, что тут можно применить формулу синуса разности для того, чтобы свернуть выражения в числителях

Подсказка 2

Перекинем все в одну сторону и снова приведем к общему знаменателю (заметьте, что знаменатели тоже можно было преобразовать по очень известной тригонометрической формуле), попробуйте теперь разложить результат на множители

Подсказка 3

После применения формулы для суммы синусов остается только приравнять каждый множитель к нулю и найти корни уравнения (только важно не забыть выколоть нули знаменателя!)

Показать ответ и решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:

-sin4x- sin(−4x) 12sin2x = 12sin10x

Это равносильно тому, что

sin4x(sin2x+-sin10x) =0 sin2xsin10x

Преобразуем сумму синусов в произведение:

sin4xsin6xcos4x-= 0 sin2xsin10x

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла::

-sin8xsin6x- sin2xsin10x = 0

Учитывая, что нули функции $sin2x$ являются нулями функции $sin 10x,$ получаем::

( [ |{ sin6x= 0 | sin8x= 0 ( sin 10x ⁄=0

Общие нули $sin 6x$ и $sin10x$ имеют вид $kπ2-,k ∈ℤ.$ Точно так же выглядят общие нули $sin8x$ и $sin10x$ . Следовательно, из серий $m8π,n6π,m, n∈ ℤ,$ нужно выкинуть числа вида $kπ2-,k ∈ℤ$ .

Ответ:

$x = mπ,nπ, m ∈ ℤ∖4ℤ,n∈ ℤ∖3ℤ 8 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#63559Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin3x= 2 cosx− sinx

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус тройного угла раскрывать не очень хочется (потом явно придется еще двойные раскрывать), так что вспоминаем формулу суммы синусов и пробуем применить её!

Подсказка 2

Получили уже что-то более приятное, только две функции остались различные! Стоит попробовать разложить на множители, раз уж один множитель в слагаемых одинаковый.

Подсказка 3

Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно 0 и решаем базовые тригонометрические уравнения! Не пугайтесь двойного угла, можете заменить его на новую переменную y, чтобы было проще выписывать решения :)

Показать ответ и решение

Поскольку $sin3x+ sinx =2sin 2x cosx$ , то возможны два случая.

π cosx =0 =⇒ x= 2 +πn,n∈ ℤ

√ - √ - π πn 2= 2sin2x⇐⇒ sin2x = 1∕ 2=⇒ x= (−1)n-8 + 2-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn, n ∈ℤ 2 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#88272Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 3 2sin x+ 7cos x= 2.

Источники: Вступительные испытания в МГУ - 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в двух слагаемых есть множитель 2. А что если его вынести и как-то преобразовать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов и ОТТ помогут нам. Как можно преобразовать выражение дальше? Каким является полученное уравнение?

Подсказка 3

Видим, что в обеих частях уравнения есть cos(x), поэтому или он 0, или мы можем на cos²(x) поделить — получим квадратное уравнение относительно cos(x), которое несложно решить ;)

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству уравнение эквивалентно

3 2 2 7cosx = 2(1+ sin x)cos x

Отсюда $cosx = 0$ или

2 7cosx =2(2− cos x)

2cos2x+ 7cosx− 4 =0

cosx= −7±-9 4

cosx= 1 2

То есть $x= ±π +2πn,n∈ ℤ 2$ или

x= ±π + 2πn,n ∈ℤ 3

Ответ:

$± π + 2πn,± π+ 2πn,n ∈ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#115881Максимум баллов за задание: 7

Среди корней уравнения

cos2πx 1+-tgπx-= 0

найти тот, который имеет наименьшее расстояние от числа $√ -- 13$ на числовой прямой.

Показать ответ и решение

Все решения исходного уравнения содержатся среди решений уравнения $cos2πx= 0,$ т. е. среди чисел $x = 1+ n,n∈ ℤ. 4 2$

Если $n= 2m,$ то $1 x = 4 + m,m ∈ℤ,$ и $π tgπx= tg 4 = 1,$ и поэтому все числа $1 x= 4 + m,m ∈ℤ,$ являются решениями исходного уравнения. Если же $n= 2m− 1,$ то $1 x =− 4 + m,m ∈ℤ,$ а $( π) tgπx= tg − 4 = −1,$ и поэтому ни одно из чисел $1 −4 +m,$ $m ∈ℤ,$ не входит в ОДЗ исходного уравнения. Итак, множество решений исходного уравнения состоит из чисел $1 4 +m, m∈ ℤ.$

Выберем теперь среди них число, ближайшее к $√ -- 13.$ Так как очевидно, что справедливы неравенства

13 1 √ -- 1 17 4-= 3+ 4 < 3,5 < 13< 4<4 + 4 = 4-,

то искомый корень есть либо $143,$ либо $147 .$ Легко проверить, что справедливо неравенство $√-- √-- 13− 134 < 174 − 13$ (оно выполняется одновременно с неравенством $√-- 13< 145,$ которое проверяется возведением в квадрат). Таким образом, $134-$ есть ближайший к $√-- 13$ корень исходного уравнения.

Ответ:

$13 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#89910Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $12sin5x =cos10x+ 7.$

Подсказки к задаче

Подсказка

Если сделать замену у = 5х, то уравнение сразу становится гораздо приятнее! Тут явно хочется применить формулу косинуса двойного угла и решить квадратное уравнение относительно sin(у). Таким образом мы без труда можем найти у, а значит, и х)

Показать ответ и решение

Сделаем замену $α= 5x :$

12sin α= cos2α+ 7.

По формуле двойного угла $cos2a = 1− 2sin2a$ имеем:

2 12sin α= 1− 2sin α+ 7,

2 2sin α+ 12sinα − 8= 0,

2 sin α + 6sinα − 4= 0,

Сделаем замену $t =sinα,$ при этом $t∈ [− 1;1]:$

t2+ 6t− 4 = 0,

D = 36+ 4⋅4 ⋅1 = 52,

$⌊ √ -- −6−---52- √ -- ||t1 = 2√ --= −3 − 13, ⌈ −6+---52- √ -- t2 = 2 = −3 + 13.$

Очевидно, что $√ -- − 3 − 13< −3 < −1,$ следовательно $t1$ не принадлежит отрезку $[−1;1].$

Сравним $− 3+ √13$ с $− 1$ и 1:

√ -- − 1< −3+ 13< 1,

√ -- 2< 13< 4,

4 < 13 < 16.

то есть $t2$ принадлежит отрезку $[−1;1].$

Обратная замена для $t2 :$

√-- sinα = 13− 3.

Обратная замена для $α:$

√ -- sin5x= 13 − 3,

$⌊ √-- | x = 1arcsin( 13− 3)+ 2πk,k ∈ ℤ, |⌈ 5 √ -- 5 x= π-− 1arcsin ( 13− 3)+ 2πk,k ∈ ℤ. 5 5 5$

Ответ:

$1 arcsin(√13-− 3)+ 2πk, 5 5$ $π− 1 arcsin(√13 − 3)+ 2πk, 5 5 5$ $k ∈ ℤ.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#90116Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $4sin2x+ 0,5sin 2x + cos2x= 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень понятно, как надо будет работать с двойкой, быть может, тогда заменим ее на тригонометрические формулы? А что сделать с синусом двойного угла?

Подсказка 2

Раскроем синус двойного угла по формуле, а 2 запишем с помощью ОТТ. Как решать получившееся однородное тригонометрическое уравнение?

Подсказка 3

Рассмотрите случай, когда косинус равен 0 и когда косинус не равен 0

Показать ответ и решение

По ОТТ представим 2 как $2(sin2x +cos2x),$ а $sin2x$ как $2sinxcosx$ и перенесем все в левую часть:

4sin2x +sinxcosx+ cos2x − 2sin2x− 2cos2x= 0,

2sin2x+ sin xcosx − cos2x =0.

Видим однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

1) Рассмотрим случай $cosx = 0:$

2sin2x+ sinx ⋅0− 0= 0,

sinx =0.

Тут имеем противоречие с ОТТ: $02+ 02 ⁄= 1.$ То есть случай $cosx= 0$ невозможен.

2) Рассмотрим $cosx ⁄= 0.$ Разделим обе части уравнения на $cos2x :$

2sin2x+ sin xcosx − cos2x --------cos2-x---------= 0,

2tg2x+ tgx− 1= 0.

Сделаем замену $tg x= t:$

2t2+ t− 1 = 0.

D = 1+ 4⋅1⋅2= 32,

$⌊ t1 = −1−-3-= −1, |⌈ 4 t2 = −-1+-3= 1. 4 2$

Обратная замена:

$⌊ tg x= −1, ⌈ 1 tgx = 2.$

$⌊ π- | x =− 4 +πk,k ∈ℤ, ⌈x= arctg 1+ πk,k ∈ ℤ. 2$

Ответ:

$x = − π-+πk 4$ , $x= arctg 1+ πk 2$ , $k ∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#91138Максимум баллов за задание: 7

Найдите ближайший к точке $x0 = 19π 4$ корень уравнения

3cos2x+ 2cosx= 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуем уравнение и решим его привычным способом

Подсказка 2

Исходное уравнение равносильно уравнению 3cos(x)^2 + cos(x) - 2 = 0, в ответе будут 2 серии! Осталось лишь разобрать случаи, из какой серии будут корни ближе ;)

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно уравнению

2 3cos x+ cosx− 2= 0,

которое является квадратным относительно $cosx.$

D =1 +24 = 25.

Тогда $cosx = −1$ или $cosx= 2. 3$ Отсюда получаем три серии: $x= π +2πk$ и $2 x = ±arccos3 + 2πk,$ где $k$ — целое число.

1) Ближайшим к точке $x0 = 19π- 4$ корнем первой серии является $x= 5π,$ при этом $19π π 5π − -4-= 4.$

2) Ближайшим к точке $x = 19π 0 4$ корнем второй серии является $x = arccos 2+ 4π, 3$ при этом $( ) 19π − arccos 2 +4π = 3π − arccos 2> π-, 4 3 4 3 4$ так как $π 2 -2 − arccos3 > 0.$

3) Ближайшим к точке $x = 19π 0 4$ корнем третьей серии является $x = − arccos 2 + 4π, 3$ при этом $( ) 19π − 4π− arccos 2 = 3π +arccos 2, 4 3 4 3$ очевидно, что этот корень находится дальше от точки $19π x0 =-4-$ , чем корень $5π$ .

Ответ:

$5π$