Логарифмы на ДВИ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары положительных чисел 
, удовлетворяющих уравнению
Источники:
Подсказка 1
У нас переменные стоят как в основаниях логарифмов, так и в аргументе — работать с этим не очень удобно, поэтому давайте облегчим себе задачу: применим формулу перехода к новому основанию, чтобы логарифмы стали натуральными и перемножим имеющуюся пропорцию крест-накрест.
Подсказка 2
Воспользуйтесь монотонностью логарифмов и попробуйте поработать с аргументами. Мы хотим доказать, что каждый множитель слева больше или равен одному из множителей в правой части. В каком случае тогда возможно равенство произведений?)
Подсказка 3
Итак, у нас либо есть парочка логарифмов равных нолю, либо два неравенства обращаются в равенства! Рассмотрите каждый из этих случаев и сделайте выводы.
Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:
Аналогично 
Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом
на ОДЗ ( которое можно задать условием 
) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по
такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что
Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти
неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов 
в ноль. В итоге получаем
так что 
или 
. С учётом ОДЗ пишем ответ.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
