Тема ДВИ по математике в МГУ

Логарифмы на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130311Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘---(-√-)------------ (x) log22 x 2 − 3log4x6+ 13> log2 2

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие преобразования полезно делать в логарифмических неравенствах?

Подсказка 2

Воспользуйтесь свойствами таким образом, чтобы у всех логарифмов основание стало равно 2, а аргумент – х.

Подсказка 3

После преобразований становится очевидна правильная замена! Теперь у нас есть довольно простое неравенство, которое сразу хочется возвести в квадрат. Но будьте осторожны – не забывайте, что неравенство можно возводить в квадрат, только если Вы уверены, что обе его части неотрицательны!

Подсказка 4

С левой частью все понятно – она всегда неотрицательна на ОДЗ, а вот с правой частью нужно рассмотреть два разных случая. После рассмотрения двух случаев объедините полученные решения, вернитесь к исходной переменной и не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2( √2) 6 { log2 x − 3log4x + 13≥0 |( x> 0

На ОДЗ верны преобразования:

( ) log22 x√2 − 3log4x6+ 13 =2log22x− 9 log2x+ 13

log (x) =log x− 1 2 2 2

Сделаем замену $t= log x, 2$ тогда неравенство примет вид:

∘ -2-------- 2t− 9t+13 >t− 1

Если $t− 1< 0,$ то неравенство выполнено на ОДЗ, то есть все $t< 1$ нам подходят. Если же $t− 1≥0,$ возведем неравенство в квадрат и получим:

2t2 − 9t+ 13 >t2− 2t+ 1

t2 − 7t+ 12 >0

Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда $t− 1≥ 0,$ получаем:

t∈[1;3)∪ (4;+∞ )

Объединяем со случаем $t− 1 <0:$

t∈(−∞;3)∪ (4;+∞ )

Заметим, что неравенство $2t2− 9t+ 13≥ 0$ верно при любом действительном $t,$ так что первое условие из ОДЗ выполнено автоматически. Вернёмся к исходной переменной:

⌊ log x< 3 ⌈ 2 log2 x> 4

⌊ ⌈ x< 8 x> 16

С учётом ОДЗ получаем ответ:

x∈ (0;8)∪(16;+ ∞)

Ответ:

$(0;8)∪ (16;+∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130320Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(--2--) (--1---) log12 9x− 1 ≤ log12 3x+ 31

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как основание логарифмов не зависит от х, мы спокойно можем от него избавиться и перейти к рассмотрению равносильного неравенства. Только не забудьте учесть, что 0.5 < 1, и записать ОДЗ!

Подсказка 2

Действуем по классике: переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем на множители, а дальше так и напрашивается метод рационализации! Кроме того, обратите внимание на заведомо положительные множители. Для удобства от них можно избавиться.

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

(| --2-- |{ 9x− 1 > 0 ||( --1--- 3x+ 31 > 0

x >0.

Перейдём от исходного неравенства к равносильному:

--2-- ---1-- 9x− 1 ≥ 3x+ 31

2(3x+ 31)− (9x − 1) --(9x-− 1)(3x+-31)-≥ 0

x x -9x-− 2⋅3x−-63-≤0 (9 − 1)(3 + 31)

(3x−-9)(3x-+7)-≤0 (9x − 1)(3x+ 31)

Пользясь тем, что $x 3 >0$ при любых $x,$ а также методом рационализации, получаем:

x− 2 --x- ≤0

Решением этого неравенства является $x ∈(0;2].$

Ответ:

$(0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130834Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√- (2− 2x)⋅log2⋅3x−5 3≤ 1

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как Вы думаете, что можно сделать с основанием логарифма?

Подсказка 2

Так как мы вычитаем 5, свойства логарифмов нам не помогут. А поможет ли нам новая переменная?

Подсказка 3

Пусть t = 2 ⋅ 3ˣ - 5. Выразите x.

Подсказка 4

Решите неравенство при помощи метода рационализации и не забудьте сделать обратную замену, а также учесть все ограничения для t!

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2⋅3x− 5,$ тогда

t+5- x = log3 2

А так же

6 1− x= log3t+-5

Сразу отметим, что $t> 0$ и $t⁄= 1.$ После замены неравенство примет вид:

2log3 -6--logt√3≤ 1 t+5

log -6--log 3≤ 1 3t+5 t

log3-6-- -logt+t5-≤ 1 3

logt--6-− 1≤ 0 t+ 5

--6--- logtt(t+ 5) ≤0

Воспользуемся методом рационализации:

( 6 ) (t− 1) t(t+5) − 1 ≤ 0

t2+-5t− 6- (t− 1) t(t+ 5) ≥ 0

(t− 1)2(t+ 6) --t(t+5)---≥0

Учитывая ограничения на $t$ , получаем $t> 0.$ Остается вернуться к исходной переменной и решить систему:

( { 2 ⋅3x− 5> 0 ( x 2 ⋅3 − 5⁄= 1

({ x> log 2.5 3 ( x⁄= 1

x ∈(log32.5;1)∪(1;+∞ )

Ответ:

$(log 2.5;1)∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#131018Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(3√-)5+log2x 1+logx x ≥ 2 2

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед преобразованием нужно выписать ОДЗ!

Подсказка 2

В левой стороне неравенства степенная функция для x. Хотелось бы справа получить что-то подобное, только необходима проверка для x = 1.

Подсказка 3

Отлично, теперь у нас есть неравенство: xᶠ⁽ˣ⁾ ≥ xᵍ⁽ˣ⁾, где f(x) = (5 + log₂(x)) / 3, g(x) = 1 + logₓ(2). Теперь самое время вспомнить про рационализацию! Какое неравенство получится?

Подсказка 4

Получим (x - 1) ⋅ ((5 + log₂(x)) / 3 - 1 - logₓ(2)) ≥ 0. Будем находить нули каждой скобки по отдельности. Для второй понадобится замена, какая?

Подсказка 5

Пусть t = log₂(x). Чему тогда равен logₓ(2)?

Подсказка 6

По свойствам логарифмов logₓ(2) = 1/log₂(x). Получим квадратное уравнение относительно t, останется только сделать обратную замену, расставить знаки и не забыть про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

x> 0

Преобразуем исходное неравенство

x5+lo3g2x-≥ 2⋅2log2x

x5+log32x-≥2 ⋅x

Если $x= 1,$ то неравенство не будет выполняться:

153 ≥ 2

Если $x⁄= 1,$ то на ОДЗ будет верно следующее:

x5+lo3g2x-≥xlogx2⋅x

5+log2x x--3---≥ x1+logx2

По методу рационализации

( 5+ log2x ) (x− 1) ---3---− 1− logx2 ≥ 0

(x − 1)(2+log2 x− 3 logx2)≥0

( --3-) (x− 1) 2+ log2x− log2x ≥ 0

Найдем $x,$ при которых вторая скобка обращается в 0:

3 2+ log2x −log-x = 0 2

Пусть $log2x= t.$ Так как $x ⁄=1,$ $t⁄= 0.$

2+t− 3 =0 t

2 t + 2t− 3= 0

(t+ 3)(t− 1)= 0

t∈{−3;1}

Сделаем обратную замену:

log2x= −3 ⇔ x= 18

log2x= 1⇔ x =2

По методу интервалов получаем:

( ] x∈ −∞; 1 ∪ [2;+∞) 8

На пересечении с ОДЗ

( 1] x∈ 0;8 ∪[2;+ ∞)

Ответ:

$(0;1 ]∪[2;+∞ ) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#132599Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3 2 5 log32 x2 +log23 x3 ≤ 6 ⋅x ⋅log6 x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит записать ОДЗ.

Подсказка 2

Получим, что x > 0. Попробуйте привести логарифмы к одному основанию.

Подсказка 3

Например, нам может помочь следующее свойство: logₐb = logₕb / logₕa.

Подсказка 4

Можно взять h = 6.

Подсказка 5

Примените метод рационализации.

Показать ответ и решение

На ОДЗ: $x >0.$

3 2 5 2 ⋅log32 x− 3 ⋅log32 x≤ 6 ⋅x⋅log6x

5 5 6 ⋅log32 x≤ 6 ⋅x⋅log6x

log3 x≤ x⋅log6x 2

x⋅log6x− log6x-≥ 0 log6 32

log6x ⋅(x− log36)≥ 0 2

По методу рационализации

(6− 1)⋅(x − 1)⋅(x − log36)≥0 2

(x − 1)⋅(x − log36)≥0 2

$x1lo++g36 2$

[ ) x∈(−∞; 1]∪ log32 6;+∞

На пересечении с ОДЗ получим

[ ) x∈(0;1]∪ log32 6;+∞

Ответ:

$(0;1]∪ [log 6;+∞) 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#132898Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘------2------- 2 1+ log9(3x +8x +6)> log3(3x + 8x+6)

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Замена так и напрашивается. Не забудьте проверить ОДЗ!

Подсказка 2

Теперь перед нами довольно простое неравенство, решите его любым удобным способом.

Подсказка 3

Например, можно рассмотреть 2 случая: когда часть без корня больше 0 и когда она меньше.

Подсказка 4

Финишная прямая, осталось сделать обратную замену и решить полученное простое неравенство.

Показать ответ и решение

Проверим ОДЗ:

2 3x + 8x+ 6> 0

Так как

D = 82− 4 ⋅3 ⋅6 =64− 72= −8< 0

Сделаем замену $t= log3(3x2+ 8x+6),$ получим:

∘ -- 1+ t> t 2

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

⌊ (| t− 1< 0 || { || |( t ≥ 0 ||| ( 2 || |{ t− 1≥ 0 ⌈ |( t > (t− 1)2 2

Решим первую систему:

{ t< 1 t≥ 0

t ∈[0;1)

Решим вторую систему:

{ t≥ 1 2 t> 2(t − 2t+ 1)

{ t≥ 1 2t2− 5t+ 2< 0

(| t≥ 1 { ( ) |( t∈ 1;2 2

Объединяя решения обеих систем, получаем:

t ∈[0;2)

Сделаем обратную замену:

0≤ log3(3x2+ 8x+ 6)< 2

Это равносильно системе неравенств:

{ log3(3x2+ 8x+ 6) ≥0 log3(3x2+ 8x+ 6) <2

{ 3x2+ 8x +6≥ 1 3x2+ 8x +6< 9

{ 3x2+ 8x +5≥ 0 3x2+ 8x − 3< 0

( ( ) |||{ x∈ −∞; − 5 ∪[−1;+∞) ( )3 |||( x∈ −3;1 3

Пересекая эти два решения, получаем итоговый ответ:

( 5) [ 1) x∈ −3;3 ∪ −1;3

Ответ:

$(−3;5)∪ [−1;1) 3 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91954Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) logx+3 x − 7x +12 ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что следует сделать в первую очередь, если перед нами — логарифм, в аргументе и основании которого выражение с переменной? А как можно преобразовать выражение такого вида?

Подсказка 2

Сразу записываем ОДЗ и используем метод рационализации! Чему равносильно выражение из условия?

Подсказка 3

(x+2)(x²- 7x + 12 - (x+3)²) <= 0. Осталось лишь решить его и пересечь с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сначала найдем ОДЗ:

( x+ 3> 0 |{ |( x+2 3⁄= 1 x − 7x+12 >0

Решая эту систему, получаем, что $x ∈(−3;−2)∪(−2;3)∪(4;+∞ ).$ Теперь применим метод рационализации. Тогда получится неравенство

2 2 (x+ 2)(x − 7x+ 12 − (x+ 3) )≤ 0

Во второй скобке приводим подобные:

(x +2)(−13x+ 3)≤ 0

Решая это неравенство, получаем, что $x∈ (− ∞;−2]∪[ 313;+∞ ).$ Остается пересечь это множество с ОДЗ. Получается, что $x ∈(−3;−2)∪[ 313;3)∪(4;+ ∞).$

Ответ:

$(−3;−2)∪[ 3;3)∪(4;+∞) 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91977Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log 2 (x−1) log2 (x+1) 8 x−1 + 8 x −1 ≤ 6.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём как всегда с ОДЗ! Но что же делать дальше? Можно заметить, что основание обоих логарифмов равно произведению их аргументов: (x - 1)(x + 1) = x² - 1, как нам это поможет?

Подсказка 2

Сделаем замену: t = 8^(log_(x² - 1) (x - 1)). Умножьте обе части неравенства на t > 0 и по свойствам степеней преобразуйте наше выражение. Что у нас остаётся?

Подсказка 3

Перед нами всего лишь квадратичное неравенство, а с этим вы отлично умеете работать!

Подсказка 4

Осталось сделать обратную замену! Чтобы перейти к сравнению показателей степеней, удобно представить 8 и, получившееся в одной из частей двойного неравенства, 4 как степени двойки. Метод рационализации поможет нам добить задачу.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x − 1 >0 ( x2− 1⁄= 1

( { x> 1 ( x⁄= ±√2-

x ∈(1;√2)∪ (√2;+ ∞)

Домножим обе части исходного неравенства на $8logx2−1(x−1)$

82logx2−1(x−1)+8logx2−1(x+1)+logx2−1(x−1) ≤ 6⋅8logx2−1(x−1)

82logx2−1(x−1)+ 8logx2−1(x2−1) ≤6⋅8logx2−1(x− 1)

82logx2−1(x−1)− 6⋅8logx2−1(x−1)+ 8≤ 0

Сделаем замену $logx2−1(x−1) t= 8 ,$ получим

2 t − 6t+ 8≤ 0

(t− 2)(t− 4)≤ 0

t∈[2;4]

Тогда при обратной замене

2≤ 8logx2−1(x−1) ≤4

1 ≤logx2−1(x − 1)≤ 2 3 3

1≤ log 2 (x− 1)3 ≤2 x− 1

Решим неравенства по-отдельности:

1 ≤log2 (x − 1)3 x −1

Применим метод рационализации

(x2− 2)((x− 1)3− (x2 − 1))≥0

(x2− 2)(x3− 4x2 +3x)≥ 0

√- √- x(x− 2)(x+ 2)(x − 1)(x − 3)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

√- x∈ (1; 2)∪ [3;+∞)

3 logx2−1(x− 1) ≤ 2

Применим метод рационализации

2 3 2 2 (x − 2)((x − 1) − (x − 1))≤ 0

(x2− 2)(− x4+x3 − x2+ 3x− 2)≤ 0

(x− √2)(x +√2-)(x− 1)2(x2 +x+ 2)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

x∈(√2;+∞ )

Пересекаем полученные полученные значения и получаем итоговый ответ

x ∈[3;+∞ )

Ответ:

$[3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92259Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 1) ( 1) log9 x + 3 − log3 x− 3 ≥ 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое неравенство. Что делаем первым делом?

Подсказка 2

Записываем ОДЗ, конечно! Теперь на этом множестве можем совершать преобразования. Как будем действовать?

Подсказка 3

Основание первого логарифма является квадратом основания второго логарифма! Можем по свойству логарифмов вынести этот квадратик ;)

Подсказка 4

Чтобы избавиться от неприятного множителя 1/2, мы можем просто домножить обе части неравенства на 2. Тогда у второго логарифма появится коэффициент 2, который уже можем занести в степень аргумента!

Подсказка 5

Получили разность логарифмов с одинаковыми основаниями. Победа! Теперь после преобразования разности логарифмов к логарифму частного мы получим элементарное логарифмическое неравенство!

Подсказка 6

Задача свелась к простому дробно-рациональному неравенству. Остается его решить классическим методом интервалов и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x+ 1> 0 (1 ) x− 31> 0 ⇐⇒ x ∈ 3 ;+ ∞ 3

Умножим наше неравенство на $2,$ преобразуем выражения под знаком логарифма:

2 log (3x+-1)− 2log ( 3x-− 1) ≥ 2 9 3 3 3

(3x +1) log3 --3-- − 2(log3(3x − 1)− 1)≥2

log3(3x +1)− 1− 2 log3(3x− 1)+2 ≥2

( ) log3 -3x+-12 ≥1 =log33 (3x− 1)

Так как функция $log3t$ монотонно возрастает, то

--3x+1---≥ 3 9x2− 6x+ 1

Домножим на положительный (с учетом ОДЗ!) знаменатель:

2 3x+ 1≥27x − 18x +3

2 27x − 21x+ 2≤0

По обратной теореме Виета у квадратного трехчлена в левой части $19,23$ — все его корни. Тогда

[ 1 2] x∈ 9;3

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(1;2] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92344Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-2x-- logx 3− x ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое неравенство, поэтому не забываем про ОДЗ ;) И в аргументе, и в основании логарифма стоят выражения с неизвестной, какой тогда метод решения удобно применить?

Подсказка 2

Примените метод рационализации! Тогда всё выражение слева разобьется на скобки, а справа будет 0, что будет не так сложно решить ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| -2x-> 0 |{ 3−x ⇐⇒ x∈ (0;1)∪(1;3). ||( x≥ 0 x⁄= 1

Применим метод рационализации:

(-2x- 2) (x− 1) 3− x − x ≤ 0

(x− 1)(3− x)(2x+ x3− 3x2)≤ 0

x(x − 1)2(3− x)(x− 2)≤0

x∈ [0;2]∪ [3;+∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (0;1)∪(1;2].$

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92363Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(2 ) ( 2 ) logx− 1(2x− 5)+ log4x2− 20x+25 x − 2x+ 1 − log2x−5 4x − 20x+ 25 ≤0.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала выпишем ОДЗ, куда же без неё? Какие ограничения есть у логарифмов?

Подсказка 2

Помимо положительности аргумента и основания, не забываем, что основание не может быть равно ещё и единице. Остается решить систему, и наша ОДЗ готова! Самое время внимательно посмотреть на аргументы и основания: может быть, их можно как-то преобразовать, чтобы получились везде похожие выражения относительно х?

Подсказка 3

ФСУ — наш лучший друг, а с учетом ОДЗ еще и свойства логарифмов должны прекрасно примениться. Если всё максимально упростить и привести подобные, может быть, удастся применить ещё одно свойство логарифмов?

Подсказка 4

Вынесли степени на ОДЗ, все привели и получили два прекрасных логарифма, причем основание первого является аргументом второго и наоборот. Самое время для замены :)

Подсказка 5

Вспомним, что log_a(b)=1/log_b(a). После замены получится простейшее дробно-рациональное неравенство. Останется сделать только обратную замену!

Подсказка 6

Не забудьте, что знак нестрогий — есть вероятность, что вы что-то потеряли в ответе ;)

Показать ответ и решение

Сначала запишем ОДЗ:

( x − 1⁄= 1 ||||| ||||| x −2 1> 0 |{ 4x2− 20x +25⁄= 1 ||| 4x − 20x +25> 0 ||||| 2x− 5⁄= 1 |||( 2x2− 5> 0 x − 2x+ 1> 0

Так как $x2− 2x+ 1= (x− 1)2,$ $4x2− 20x +25= (2x− 5)2,$ то получаем, что система, указанная выше, эквивалентна следующей:

( x⁄= 2 ||||| |{ x> 1 ||| 2x− 5 ⁄=− 1 |||( x⁄= 35 x> 2

Из третьего неравенства получаем, что $x ⁄=2.$ Тогда, пересекая все неравенства, получаем $x∈ (2,5;3)∪(3;+ ∞).$

Теперь преобразуем исходное неравенство:

( 2) ( 2) logx−1(2x− 5)+ log(2x−5)2 (x− 1) − log2x−5 (2x− 5) ≤ 0

С учетом ОДЗ и свойств логарифма получаем:

logx−1(2x− 5)+ log2x−5(x− 1)− 2log2x−5(2x − 5)≤ 0

logx−1(2x − 5)+ log2x−5(x− 1)− 2≤ 0

Пусть $logx−1(2x− 5)= t.$ Тогда уравнение принимает вид:

t+ 1− 2≤0 t

Приводим к общему знаменателю:

t2−-2t+-1≤ 0 t

(t−-1)2 t ≤ 0

Решив данное неравенство, получаем $t< 0$ или $t= 1.$ Из $t= 1$ получаем $logx−1(2x− 5)= 1,$ откуда $x= 4.$ Теперь сделаем обратную замену для $t<0$ :

logx−1(2x− 5)<0

По методу рационализации:

(x − 2)(2x− 6)< 0

Решаем неравенство и получаем, что $x∈ (2;3).$ Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (2,5;3).$

Ответ:

$(2,5;3)∪ {4}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89776Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- logx2− 1(x− 1)≥logx2−1 x-+ 1. 2

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Перекиньте все в одну сторону и воспользуйтесь методом рационализации. Не забудьте пересечь результат с ОДЗ, и задачка убита)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 1> 0 |||{ 2 | x − 1⁄= 1 |||( xx−2 1> 0 2 +1> 0

{ x >1 x ⁄=√2-

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(x2− 1− 1)((x− 1)2 − (x2+ 1)) ≥ 0 2

√ - √- (x − 2)(x+ 2)x(x− 4)≥0

По методу интервалов решаем неравенство и пересекаем с ОДЗ:

√- x∈ (1; 2)∪ [4;+∞)

Ответ:

$(1;√2-)∪[4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90017Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ --- log 3−x(3+ x)≤2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте избавимся от иррациональности в основании логарифма. Нам достаточно поделить левую и правую части неравенства на 2 и внести 1/2 в основание логарифма. Что дальше можно сделать?

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам добить задачу окончательно!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

log3− x(3+ x)≤ log3−x(3− x)

По методу рационализации это равносильно

(| 3 − x >0 |||{ 3 − x ⁄=1 | 3 +x >0 |||( (3− x− 1)(3+ x− 3 +x)≤ 0

(|{ −3< x< 3 x⁄= 2 |( (2− x)x≤ 0

По методу интервалов получаем ответ $x∈ (− 3;0]∪(2;3)$ .

Ответ:

$(−3;0]∪ (2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90018Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x logxlog3(2 − 1)≥ 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем представить 0 как логарифм с основанием x и аргументом 1 и применить метод рационализации.

Подсказка 2

Теперь снова повторим сходные действия: представим 1 как логарифм с основанием 3 и таким же аргументом и применим метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

При $0< x< 1$ получаем, что

x 0< log3(2 − 1)≤ 1

x 1 <2 − 1≤ 3

1< x< 2

решения неравенства не входят в рассматриваемый промежуток.

При $x> 1$ получаем

log3(2x− 1)≥1

2x− 1 ≥3

x≥ 2

и записываем это в ответ.

Ответ:

$[2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90020Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ -3+log x 1+log x ( x) 3 ≥ 3 3 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем упростить неравенство: как можно получить одинаковые основания? Заменим √х на 3 в некоторой степени по основному логарифмическому тождеству.

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам перейти к сравнению степеней, какую замену теперь можно сделать?

Подсказка 3

Пусть t = log₃(x), остаётся лишь решить обычное квадратное неравенство. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

По основному логарифмическому тождеству и свойствам степеней получаем

log(√x)⋅(3+log x) 1+logx 3 3 3 ≥ 3 3

В силу возрастания показательной функции с основанием 3 неравенство равносильно

log (√x)⋅(3 +log x)≥ 1+ log x 3 3 3

По свойствам логарифмов это эквивалентно

log x ⋅(3+ log x)≥ 2(1+ log x) 3 3 3

После замены $t= log3x$ получаем неравенство

t2+ t− 2≥0

t ≥1 или t≤− 2

После обратной замены

1 x≥ 3 или 0< x≤ 9

Ответ:

$(0;1 ]∪[3;+∞ ) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90039Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log √x x 3 > 9.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 231, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте подумаем, что можно сделать? Как можно изменить неравенство? Может быть что-то сделать с основанием х?

Подсказка 2:

Пусть t равен логарифму по основанию 3 от х. Тогда можем заменить x в основании на 3^t, а степень на t/2. Что теперь можно сделать?

Подсказка 3:

Применим метод рационализации, представим 9 справа как 3². Тогда получим t² > 4. Найдём t и сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения:

x> 0

Прологарифмируем неравенство

log xlog3√x-> log 9 ⇐⇒ log √x ⋅logx > 2 3 3 3 3

2log3√x-⋅log3−4> 0 ⇐⇒ log23x− 4> 0

( ) (log3x− 2)(log3x+ 2)> 0 =⇒ (x− 9) x − 1 > 0 9

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем, что

( ) x∈ 0;1 ∪ (9;+∞ ) 9

Ответ:

$x ∈(0;1) ∪(9;+ ∞) 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90688Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

| 2 2 | 2 2 |log3x− log2x2|=log3x+ log2x2 − 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в котором есть модуль, быть может, тогда раскроем его? Какие случаи нужно разобрать?

Подсказка 2

Разберите случаи, когда подмодульное выражение не меньше нуля и когда оно меньше нуля!

Подсказка 3

Заметим, что многие слагаемые с двух сторон сокращаются, что делает решение простым ;) А какие значения могут принимать логарифмы?

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2x> 0 { 2x⁄= 1 =⇒ x ∈(0;1) ∪( 1;+ ∞) |( 2 2 x> 0

Разберем случаи.

$1)log2x − log2 2 ≥0: 3 2x$

2 2 2 2 log3x − log2x2= log3x +log2x2− 2

⌊ x =1 — не подходит log22x2= 1 =⇒ log22x= ±1 =⇒ |⌈ x = 1 4

$2)log23x − log22x2 <0:$

− log23x+ log22x2= log23x+ log22x2− 2

⌊ x= 3 — не подходит log23x= 1 =⇒ log3x= ±1 =⇒ |⌈ 1 x= 3

Ответ:

$1 , 1 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90019Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 2 )x2−2x 2log2 x− log2x +1 ≤ 1.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: это сумма квадратов, она больше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда!

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобке в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ: у аргумента логарифма тоже есть ограничения.

Показать ответ и решение

С учётом $x> 0$ и замены $t=logx 2$ , для ОДЗ получим $2t2− 2t+ 1> 0$ , что выполнено всегда. Рассмотрим случаи

1.: $2t2− 2t+ 1> 1⇔ t∈ (− ∞,0)∪(1,+ ∞)⇔ x ∈(0,1)∪ (2,+∞ )$ . В этом случае неравенство эквивалентно $x2 − 2x≤ 0$ , то есть $x ∈[0,2]$ , в итоге $x ∈(0,1)$ .
2.: $2 2t − 2t+ 1= 1⇔ x= 1,2$ — подходят оба значения.
3.: $2 2t − 2t+ 1< 1⇔ x∈ (1,2)$ , тогда $2 x − 2x≥ 0⇔ x∈ (−∞,0]∪[2,+ ∞)$ , здесь решений не будет.

Ответ:

$(0;1]∪{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90021Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√--- √--- log 6−x(6+x)+ log 6+x(6 − x)≤ 5.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда, с ОДЗ! Следующим шагом стоит избавиться от корней в основании логарифмов, какое свойство нам в этом поможет?

Подсказка 2

Попробуйте сделать замену: t = log₆₋ₓ(6 + x), после применения свойства логарифмов перед нами будет обычное рациональное неравенство, решите его!

Подсказка 3

Аккуратная работа с обратной заменой поможет нам добить задачу

Показать ответ и решение

После замены $t= log (6+ x) 6−x$ по свойствам логарифмов получаем неравенство

2 2t+ t ≤5

2 5 t-−-2t+1 ≤0 t

По методу интервалов

t< 0 или 1≤ t≤ 2 2

По методу рационализации на ОДЗ $x∈ (− 6;6)∖{−5;5}$ получаем

(6− x− 1)(6+ x− 1)< 0 или (6− x− 1)((6+x)− (6− x)2)≤0,(6− x − 1)((6+ x)2− (6− x))≥ 0

(5 − x)(5 +x)< 0 или (x− 5)(x2− 13x +30)≤ 0,(x− 5)(x2+13x+ 30)≤0

Первое условие после пересечения с ОДЗ дает решения $5< |x|<6,$ которые сразу заносим в ответ. Если же первое условие не выполнено, то $x − 5≤ 0,$ поэтому второе условие при $x ⁄= 5$ ( $x= 5$ всё равно не входит в изначальную ОДЗ) эквивалентно системе

x2− 13x+ 30 ≥0,x2+ 13x+ 30≥ 0

решения которой

x∈ [−3;3]

тоже добавляем в ответ.

Ответ:

$(−6;−5)∪[−3;3]∪(5;6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90022Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log √x -2- x 2 ≥ √x .

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством, чтобы 1/√х представить в виде 2 в некоторой степени. Точно также и х в левой части можно записать как степень двойки.

Подсказка 2

Внимательно поработайте со свойствами степеней, чтобы перед нами осталось сравнение 2 в некоторых степенях. Теперь можно перейти и к сравнению показателей!

Подсказка 3

Сделайте замену t = log₂(x) и решите получившееся рациональное неравенство. Осталось сделать обратную замену, пересечь результаты с ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся, что $x =2log2x,$ тогда $-1-=x− 12 = 2− 12log2x. √x$ Исходное неравенство примет вид