Тема ДВИ по математике в МГУ

Логарифмы на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90038Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 3) logx x + 2 ≤ 4logx2+32(x).

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что аргумент одного логарифма равен основанию другого, как в таком случае мы можем сделать логарифмы одинаковыми?

Подсказка 2

Можно заменить логарифм справа на t, тогда слева будет 1/t! Данное неравенство относительно t легко решается методом интервалов

Подсказка 3

После обратной замены можно заметить, что основание логарифма больше единицы, поэтому от сравнения логарифмов (все числа представляем в виде логарифмов по основанию х² + 1,5) можно перейти к сравнению их аргументов без смены знака. Таким образом получаем дробно-рациональные неравенства относительно х, решаем их, пересекаем с ОДЗ и получаем ответ)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| x> 0 ||||| 2 3 { x + 2 > 0 ⇐⇒ x∈ (0;+∞ ) {1} |||| x⁄= 1 ||( x2+ 3⁄= 1 2

Сделаем замену

( ) t= log 2 3x =⇒ logx x2+ 3 = 1,t⁄= 0 x+ 2 2 t

Тогда получаем

1 4t2− 1 t ≤ 4t =⇒ t ≥ 0

(2t− 1)(2t+ 1) -----t-----≥ 0

Решая методом интервалов последнее неравенство получаем, что

[ ) [ ) t∈ − 1;0 ∪ 1;∞ 2 2

Сделаем обратную замену.

⌊ − 1 ≤log 2 3x <0 || 2 x +2 ⌈ log 3x≥ 1 x2+ 2 2

Из второго неравенства получаем, что

∘ ----3 3 x ≥ x2+ 2 =⇒ x2 ≥x2+ 2 -неверное неравенство

Рассмотрим первое неравенство:

( ( ||{ logx2+32 x ≥− 12 |{ x≥ ∘--1--- || =⇒ |( x2+ 32 ( logx2+32 x <0 x< 1

( 3 ( ||{ x4+-2x2−-1≥ 0 ||{ 2x4+-3x2-− 2 ≥0 | x2 + 32 =⇒ | 2x2+ 3 |( x< 1 |( x< 1

( ||{ (x2+-2)(2x2− 1)≥ 0 | 2x2+3 |( x <1

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

( √-] [√ - ) x∈ −∞;− -2- ∪ --2;∞ 2 2

Объединяя с ОДЗ, получаем

[√- ) x∈ -2;1 2

Ответ:

$x ∈[√2;1) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#90041Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log3(1− x)− log3(1+ x)+log1+x(1− x)− 1≤ 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы сделать их основания одинаковыми. При этом в нашем выражении появятся дроби – их можно просто привести к общему знаменателю

Подсказка 2

Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые, чтобы разложить выражение на множители, после останется лишь применить метод рационализации и пересечь решение с ОДЗ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| 1− x> 0 { 1+ x> 0 =⇒ x ∈(−1;0)∪(0;1) |( 1+ x⁄= 1

На ОДЗ верны следующие преобразования

log1+x(1−-x) ---1-- log1+x(1−-x)⋅log1+x-3 log1+x3 log1+x3 −log1+x 3 + log1+x3 − log1+x3 ≤ 0

log (1− x)(1+ log 3)− (1+log 3) (1+log 3)(log (1− x)− 1) ---1+x--------log1+x3---------1+x-- ≤0 =⇒ -----1+x-log--1+x3---------≤ 0 1+x 1+x

(1−-log1+x 13)(log1+x(1−-x)− log1+x(1+x)) log1+x3− log1+x1 ≤ 0

Используем метод рационализации

( 1) ( ) (1+x-− 1)-1+-x−-3-⋅(1+-x−-1)(1−-x−-(1+-x))-≤0 =⇒ 2x2 2 +x ≥0 (1+ x− 1)(3− 1) 3

Решая последнее неравенство методом интервалов и объединяя с ОДЗ, получаем, что

[ 2 ) x ∈ − 3;0 ∪(0;1)

Ответ:

$x ∈[− 2;0)∪(0;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#63857Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( logx log 2 ) logx−1 4 3 − 6x 3 + 10 ≤0

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В самом начале запишите ОДЗ. А теперь давайте поработаем с аргументом логарифма. Преобразуйте степени так, чтобы у нас в показателях степеней везде были одинаковые логарифмы от чисел, а чтобы переменная х была только в основаниях степеней!

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на то, какой формулой сокращенного умножения мы можем воспользоваться в аргументе логарифма, чтобы нам стало чуть-чуть удобнее с ним работать! Да, мы не можем разложить все на множители, но тем не менее есть способы упростить себе жизнь!

Подсказка 3

Верно, мы можем выделить полный квадрат! Дальше просто действуем по методу рационализации, вспоминаем про то, что квадрат не может принимать отрицательные значения и добиваем задачу!

Показать ответ и решение

В силу тождества $xlog32 = 2log3x$ неравенство эквивалентно

(( log x )2 ) logx−1 2 3 − 3 +1 ≤0

Тогда на ОДЗ:

{ x− 1> 0 x− 1⁄= 1

неравенство по методу рационализации сводится к

( )2 (x− 2) 2log3x− 3 ≤ 0

откуда либо

2log3x− 3= 0 ⇐⇒ log3x= log23 ⇐⇒ x= 3log23,

либо

x≤ 2

Пересекаем с ОДЗ и получаем ответ.

Ответ:

$(1;2)∪ {3log23}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#64114Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$ с наименьшим возможным значением $y$ , удовлетворяющие неравенству

( 2 7) logx2−y x− y + 4 ≥ 1

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От чего зависит сохранение или изменение знака неравенства в работе с логарифмами? Рассмотрите соответствующие два случая в зависимости от основания log.

Подсказка 2

Попробуйте графически изобразить неравенство равносильное нашему для случая, когда основание логарифма больше 1. Для этого выделите полные квадраты. Значение у должно быть наименьшим, значит нас интересует самая нижняя точка графика. Удовлетворяет ли она условию, заданному основанием логарифма?

Подсказка 3

Рассмотрите второй случай: основание log меньше 1. Обратите внимание, могут ли при этом получиться у меньшие или равные найденного ранее минимума? Запишите итоговый ответ.

Показать ответ и решение

При $y < x2− 1$ неравенство равносильно $x− y2+ 7≥ x2− y 4$ , то есть

( 1)2 ( 1 )2 (3)2 x− 2 + y −2 ≤ 2

Это неравенство задаёт круг с центром $( ) 12; 12$ и радиусом $32.$ Самая нижняя точка имеет координаты $( ) 12; − 1$ и удовлетворяет ограничению $y <x2 − 1$ .

$PIC$

При $2 y > x − 1$ для каждой пары $(x,y)$ , удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо $y > −1$ . Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки $(1 ) 2; −1 .$

Ответ:

$(1;−1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#31472Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

log2x 16 − log4x8≤ 1.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала, конечно же, находим ОДЗ! Но, заметим, что основания двух логарифмов разные, и при этом каждый из них содержит x. Что можно сделать, чтобы было удобнее работать с x?

Подсказка 2

Да, по свойству логарифмов мы можем перевернуть каждый из них и x перейдет в аргумент! Что будем делать дальше, чтобы получить какое-то хорошее неравенство, где например, можно было бы сделать замену?

Подсказка 3

Конечно, давайте распишем каждый из логарифмов таким образом: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Дальше давайте просто сделаем замену вида: t = logₐx, решим неравенство и пересечём ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: $x∈ (0;1)∪ (1;1)∪ (1;+∞ ) 4 4 2 2$ . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

---1-- ---1- ----1--- ---1---- ---4--- ---3--- log162x −log84x ≤ 1⇔ 14 +log24x − 23 + log23x ≤ 1⇔ 1 +log2x − 2+ log2x ≤ 1

Заменим $log2x$ на $t$ и получим дробно-рациональное неравенство:

2 2 --4-− --3-≤ 1⇔ ---t+-5---− -t-+3t+-2-≤ 0⇔ -t-+-2t−-3-≥ 0⇔ 1 +t 2+ t (t+ 1)(t+2) (t+1)(t+ 2) (t+1)(t+2)

(t− 1)(t+3) ⇔ (t+1)(t+2) ≥ 0 ⇔ t∈ (−∞;−3]∪ (−2;−1)∪[1;+ ∞)

Теперь сделаем обратную замену и получим:

1 1 1 1 1 1 log2x ∈(−∞;log2 8]∪(log24;log22)∪ [log22;+∞ ) ⇔ x∈ (0;8]∪ (4 ;2)∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1]∪ (1;1)∪ [2;+∞ ) 8 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#64394Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению

( 4 2 ) ( 2 ) log2x2y+1 x + y +1 = logy4+x2+1 2xy +1

Источники: ДВИ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас переменные стоят как в основаниях логарифмов, так и в аргументе — работать с этим не очень удобно, поэтому давайте облегчим себе задачу: применим формулу перехода к новому основанию, чтобы логарифмы стали натуральными и перемножим имеющуюся пропорцию крест-накрест.

Подсказка 2

Воспользуйтесь монотонностью логарифмов и попробуйте поработать с аргументами. Мы хотим доказать, что каждый множитель слева больше или равен одному из множителей в правой части. В каком случае тогда возможно равенство произведений?)

Подсказка 3

Итак, у нас либо есть парочка логарифмов равных нолю, либо два неравенства обращаются в равенства! Рассмотрите каждый из этих случаев и сделайте выводы.

Показать ответ и решение

Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:

4 2 2 2 2 x − 2x y+y = (x − y) ≥ 0

4 2 2 x + y + 1≥ 2x y+ 1

Аналогично $x4+ y2 +1 ≥2xy2+1.$

Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом на ОДЗ ( которое можно задать условием $x⁄= 0,y ⁄= 0$ ) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что

log (x4+ y2+ 1) ≥log (2x2y+1)= 1= 2x2y+1 2x2y+1

= 1= log (y4+ x2 +1)≥ log (2xy2 +1) y4+x2+1 y4+x2+1

Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов $(x2− y)2,(y2− x)2$ в ноль. В итоге получаем $x =y2 = x4,y = x2 =y4,$ так что $x =y =0$ или $x= y = 1$ . С учётом ОДЗ пишем ответ.

Ответ:

$(1,1)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#126625Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

x x+1 ∘ ---x-----x---2x+3- 3 − 2 ≤ 2⋅9 − 10⋅6 + 2

Показать ответ и решение

Неравенство определено, когда подкоренное выражение неотрицательно:

x x 2x+3 2⋅9 − 10 ⋅6 + 2 ≥0

Делаем замену $t= (3∕2)x > 0$ :

2t2− 10t+ 8≥ 0

t∈(0,1]∪[4,+ ∞ )

Возвращаемся к исходной переменной:

[ ) x ∈(−∞,0]∪ log3∕22,+∞

Преобразуем исходное уравнение в равносильную совокупность

∘ ----------------- 2⋅9x − 10⋅6x+ 22x+3 ≥ 3x− 2x+1

⌊ ( x x 2x+3 x x+1 2 | { 2⋅9 − 10⋅6 + 2 ≥ (3 − 2 ) ||| ( 3x− 2x+1 ≥ 0 ⌈ x x+1 3 − 2 < 0

Раскроем скобки и приведем подобные

⌊ ({ x x x || 9 − 6⋅6 + 4⋅4 ≥ 0 || ( x≥ log3∕22 ⌈ x <log3∕22

⌊ (|{ x ∈(−∞; log --4√-]∪ [log --4√-;+∞ ) || 3∕23+ 5 3∕23− 5 || |( x ≥log3∕22 ⌈ x< log3∕22

С учетом ОДЗ получаем ответ

[ ) x∈(−∞; 0]∪ log3∕2--4√--;+ ∞ 3 − 5

Ответ:

$(−∞; 0]∪ [log ---4√--;+ ∞) 3∕23 − 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#80650Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log2x log x 2 2 +7x 2 < 16

Источники: ДВИ - 2019, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как мы можем упростить неравенство? Хотелось бы, конечно, чтобы остались одинаковые основания. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Представим x как 2 в степени логарифма по основанию 2 от x. Тогда первое и второе слагаемые станут одинаковыми, за исключением коэффициентов! Что дальше сделаем?

Подсказка 3

Применим метод рационализации, получим log²₂x < 1. Решим относительно логарифма и придём к ответу.

Показать ответ и решение

log2x log x 2 2 +7x 2 < 16

2log22x+ 7⋅2log22x <16

2log22x <2

log22x< 1

−1< log2x <1

12 <x <2

Ответ:

$1 < x< 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#31473Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

√ - √-log√- √-x √- √- log(√3+√2) ( 3+ 2) 3− 2 ≥ ( 3− 2) x

Источники: ДВИ - 2018, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, даже не понятно с чего начать… Но почему-то в этом неравенстве встречаются только два числа: √3 - √2 и √3 + √2. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 2

Да, эти числа являются обратными, потому что их произведение равно единице! Тогда, эти два числа удобно представить, как: a и a⁻¹
Сделайте такую замену и попробуйте её проанализировать. Какие случаи нужно разбирать?

Подсказка 3

Верно, поскольку a=√3 + √2 > 1, то чтобы исходное неравенство было верно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: logₓa ≥ logₐx. Осталось применить еще одно свойство логарифмов, и будет сильно проще!

Подсказка 4

Конечно, logₐx=1/logₓa. Тогда сделаем замену, найдём решения и сделаем обратную замену!

Показать ответ и решение

Заметим, что по формуле разности квадратов

√- √- √- √- ( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2 =1.

Тогда неравенство из условия имеет вид

logc−1x −1logxc − logcx − logxc c ≥(c ) ⇔ c ≥c

где $c =√3-+√2$ . Так как $c> 1,$ то неравенство равносильно:

− logx ≥− log c ⇔ log c≥ log x ⇔ -1--≥ log x c x x c logcx c

Если заменить $logcx$ на $t$ , то неравенство примет вид:

1 (t− 1)(t+1) t − t≥ 0 ⇔ -----t----≤ 0 ⇔ t∈(−∞;− 1]∪ (0;1]

Теперь сделаем обратную замену:

logcx∈ (− ∞;logcc−1]∪ (logc1;logcc]

Так как $c> 1$ , то неравенство равносильно

x∈(0;1c]∪(1;c]

Вспомним, что $√- √- c= 3+ 2$ , чтобы записать ответ.

Ответ:

$(0;√3-− √2]∪(1;√3 +√2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#63471Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 2 2 7 x log4x+ 10log3x≤ xlog4x⋅log3x

Источники: ДВИ - 2017, вариант 4, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенство с квадратичными выражениями обычно хотим разложить на множители, но этому явно будет мешать 7ая степень аргумента! Стоит её вынести и попробовать разложить на множители, перенеся все в одну сторону от знака неравенства.

Подсказка 2

Разложить на множители можно с помощью выделения полного квадрата с последующим применением формулы разности квадратов или методом группировки. Теперь есть 2 логарифма с одинаковыми аргументами, но разными основаниями, а хотим наоборот, одинаковые основания! Как можем к ним перейти?

Подсказка 3

С помощью “переворота”, конечно! Применяем свойство (не забывая проверить случай х = 1!) и замечаем, что если теперь домножить на один из знаменателей все выражение, то одна дробь уйдет, а вторая будет очень похожа на свойство логарифма!

Подсказка 4

Переходим к новому основанию по свойству логарифма и получаем привычное квадратное неравенство. Остается лишь решить его удобным способом и задачка убита!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log4 x+10log3x − 7xlog4 x⋅log3x≤ 0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 4$ и получим

2 2 x + 10c− 7xc≤0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log3x-= logx4= log 4 >0 log4x logx3 3

Уравнение $2 2 x + 10c − 7xc =0$ имеет корни $7c±3c x = 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x− 2c)(x− 5c)≤ 0

По методу интервалов $x∈ [2c;5c].$

В итоге с учётом $x= 1= log33< log34= c< 2c$ получаем $x ∈{1}∪ [2log34;5log34].$

Ответ:

${1}∪[2log 4;5log 4] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#64037Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 2 2 4 x log7x +3log6x ≤x log7x⋅log6x

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала сделаем аргументы всех логарифмов одинаковыми. Теперь посмотрите внимательно на наше неравенство, как мы можем его преобразовать? Может быть будет удобно на что-то его поделить?

Подсказка 2

Если поделить неравенство на (log₇x)², то неравенство станет квадратным! (Только не забудьте отдельно рассмотреть случай, когда (log₇x)² = 0) Теперь может спокойно решить его методом интервалов :)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log7x+ 3log6x− 4xlog7x⋅log6x ≤0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 7$ и получим

2 2 x +3c − 4xc≤ 0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log6x-= logx7= log 7 >0 log7x logx6 6

Уравнение $2 2 x + 3c − 4xc=0$ имеет корни $4c±2c x= 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x − c)(x − 3c)≤0

По методу интервалов $x∈ [c;3c].$

В итоге с учётом $x= 1= log66< log67= c$ получаем $x∈ {1}∪ [log6 7;3log67].$

Ответ:

${1}∪[log 7;3log 7] 6 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#64038Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) log1−log3x 1+logx 3 ≤1

Источники: ДВИ - 2016, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выписываем ОДЗ и сразу замечаем, что одно из условий выполнится автоматически! Тогда можем перенести все в одну сторону, чтобы сравнивать с нулем. Какой метод хорошо работает с логарифмами, когда с нулем сравниваем?

Подсказка 2

Конечно же метод рационализации! Представляем 1 как логарифм с нужным основанием и получаем уже более приятное неравенство. Для удобства можно ввести замену log₃(x) = t. Можем ли тогда и второй логарифм через эту переменную переписать?

Подсказка 3

С помощью подходящего свойства “переворачиваем” его и получаем рациональное неравенство, которое можем легко решить! Останется только произвести обратную замену.

Подсказка 4

Чтобы решить неравенства с обратной заменой достаточно воспользоваться монотонностью логарифма или применить снова метод рационализации!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( 1− log x >0 ||||| 1− log3x ⁄=1 |{ 3 ⇐⇒ x∈ (0,1)∪(1,3) ||| x ⁄=1 |||( x >20 logx 3+1 >0

Теперь применим метод рационализации. Исходное неравенство равносильно:

2 1+-log33x 1+-log3x (1− log3x− 1)(1+logx 3− 1 +log3x)≤ 0⇐ ⇒ log3x ≥ 0⇐ ⇒ log3x ≥ 0

Не забываем, что $logab =1∕logba$ и неполный квадрат при разложении суммы кубов строго положителен. Теперь нетрудно найти решения:

log3x∈ (−∞, −1]∪(0,+ ∞)=⇒ x ∈(0,1]∪ (1,3) 3

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(0;1]∪(1;3) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#64036Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

| 2 | logx|2x − 3|= 4log|2x2−3|x

Источники: ДВИ - 2015, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Достаточно много ограничений бросается сразу в глаза. Выписываем и замечаем, что логарифмы очень даже похожи, но все же разные. А можем ли сделать их одинаковыми?

Подсказка 2

Конечно! Стоит “перевернуть” один из них по соответствующему свойству (аргумент так удачно не может быть равен 1). А чему тогда должно быть равно значение этого логарифма из уравнения?

Подсказка 3

Получаем 2 уравнения с логарифмом и числом. Можем сразу действовать по определению и избавиться от логарифмов! А далее остается решить два знакомых уравнения и задачка убита.

Подсказка 4

От модулей можем избавиться рассмотрев отдельно соответствующие промежутки, а после этого интерес может вызвать только уравнение 4ой степени. А какие вообще степени в нем присутствуют? Как можем действовать с ними?

Подсказка 5

Конечно ввести замену x² = t! Теперь и у него нет шансов, т.к. относительно новой переменной уравнение стало квадратным!

Показать ответ и решение

Выпишем условия для определения ОДЗ. Основания обоих логарифмов и оба подлогарифмирумые выражения должны быть больше нуля, а также основания отличны от единицы. что дает нам:

2 2 x> 0, x⁄= 1, |2x − 3|> 0, |2x − 3|⁄= 1

Решив эти неравенства, находим, что

√ - ∘ 3- x> 0, x ⁄=1, x ⁄= 2, x⁄= 2

После замены $t= logx|2x2− 3|$ , получается уравнение

4 t =-t

t= ±2

$t= 2⇐ ⇒ |2x2− 3|= x2$ . Если $2x2− 3 ≥0$ , то $√- 2x2− 3= x2 ⇐⇒ x = ± 3$ . Из ОДЗ остаётся только $√ - x = 3$ . Иначе $2x2− 3< 0⇐= 2x2− 3= −x2 ⇐⇒ x =±1$ , оба решения не подойдут из ОДЗ.
$t= −2 ⇐⇒ |2x2− 3|= 1x2-$ . Будем действовать аналогично. Если $2x2− 3≥0$ , то $2x4 − 3x2− 1= 0$ или $√--√-- x =± -3+2-17$ , в ОДЗ подойдёт только положительное решение. Если $2x2− 3< 0$ , то $2x4− 3x2+ 1= 0$ или $x = ±1,± 1√2$ . Здесь останется только $x= √12$ .

Собирая все полученные ответы, получаем итоговый.

Ответ:

$1 ∘3-+√17-√- √2-;---2---; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#88779Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $log 3⋅log 12 12 9$ .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 3, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое свойство логарифма позволяет поменять местами его основание и аргумент?

Подсказка 2

Воспользуйтесь тем, что logᵤ(v) = 1/logᵥ(u), примените это свойство к любому из логарифмов. Осталось заметить, что 9 = 3² и вынести показатель степени за логарифм.

Показать ответ и решение

Вспомним следующие свойства логарифмов:

1 loganb= n logab

1 logba = log-b a

Сделаем преобразования:

log123 ⋅log9 12 = --1--⋅ 1⋅log312= 1 log312 2 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#88784Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $log log 417 2 81139.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Дробь 417/139 выглядит не очень, но она прекрасно сокращается, после чего задача убивается в 2 действия, пользуясь свойствами логарифма

Показать ответ и решение

417 1 1 log2log81139 = log24log33= log24 = −2

Ответ:

$− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#90686Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

log2(3x − 4)= log4(2− x).

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а в каких случаях логарифмы удобно проверять на равенство?

Подсказка 2

Когда основания в них равны! А как связаны основания у логарифмов из условия?

Подсказка 3

4 — это степень двойки!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 3x− 4> 0 ( 4 ) 2− x> 0 =⇒ x ∈ 3;2

Сделаем преобразования:

log(3x− 4)= 1 log (2− x) 2 2 2

1 log2(3x− 4)=log2(2− x)2

√---- 2 3x− 4= 2− x =⇒ (3x− 4) =2− x

9x2− 24x+ 16= 2− x =⇒ 9x2− 23x +14= 0

Тогда получаем

( |{ x= 1 —не подходит под ОДЗ |( 14 x= 9

Ответ:

$14 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#104846Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 3xy = 4x+ 8, -x+1 y = log2x

Источники: Вступительные в МГУ - 2010 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В системах уравнений, где есть какая-то кракозябра и нормальное уравнение (а это почти каждая задача с физтеха) надо сначала поработать с нормальным уравнением, как-то его попреобразовывать, чтобы оно дало нам некоторую связь на переменные, которую мы могли бы использовать для упрощения кракозябры. Наиболее нормальным (хотя вообще-то оба так себе) кажется второе, поскольку там хотя бы явно выражен y. При этом что-то похожее на первое уравние у нас появляется во втором, если домножить на знаменатель обе части второго. А как нам это помогает при решении системы?

Подсказка 2

Если мы помножим на знаменатель и внесем y в логарифм, то логарифмируемое выражение будет x^y, что дает нам большую схожесть с первым уравнением. При этом в правой части у нас тоже некоторый логарифм, который тоже очень похож на выражение в правой части первого уравнения. Сделайте преобразования и, учитывая ограничения, найдите решения системы.

Показать ответ и решение

По свойству логарифмов второе уравнение системы на ОДЗ $x> 0,x ⁄=1$ равносильно

y x +1 =ylog2 x= log2x

Подставляя $xy = 2x+1$ в первое уравнение, получаем

x 22x-+8- 2⋅2 = 3

22x− 6⋅2x+ 8= 0

2x = 2 2x =4 x= 1 x =2

В ОДЗ входит только $x = 2,$ тогда

y = 2+1-= 3 log22

Ответ: (2, 3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#80649Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2)log3x x5 x = 9

Источники: Вступительные на социологический факультет МГУ, 2008

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что у нас в задаче фигурирует логарифм с x в аргументе. Быть может, тогда выразим x² и x⁵ через него?

Подсказка 2

Итак, теперь у нас везде фигурирует 3 в некоторой степени и иногда в степени встречается логарифм по основанию 3. Давайте для удобства сделаем замену логарифма!

Подсказка 3

Теперь у нас слева и справа есть 3 в некоторой степени, зависящей от t = log₃(x): 3^(2t²) = 3^(5t-2). А как найти корни?

Подсказка 4

А что если исследовать на монотонность функцию 3^a? Решаем квадратное уравнение и не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Начнем с нахождения ОДЗ: $x> 0.$