Тема . ДВИ по математике в МГУ

Планиметрия на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130357

Все три плоских угла при вершине $D$ тетраэдра $ABCD$ равны $α.$ Найдите $α,$ если известно, что $AB = BC =AC,$ $AD =1$ и $√- BD = 3 − 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 7

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = BC =AC = x.$ Выразим $x2$ через теорему косинусов для треугольников $△ADB$ и $△BDC$ и приравняем результаты:

√- √ - 2 √- √- 1 +4− 2 3− 2( 3− 1)cosα= DC +4 − 2 3− 2DC (3 − 1)cosα

2 √ - √- DC − 2DC ( 3− 1)cosα− 1+2( 3− 1)cosα =0

DC = 1; 2cosα(√3-− 1)− 1 1,2

$PIC$

Если $DC =1,$ тогда треугольник $△DAC$ равнобедренный с углами $∘ ∠DAC =∠DCA =90 − 0.5α$ при основании. По теореме синусов для треугольника $△DAC:$

-----1------ --1--- -x-- -------x------- sin(90∘− 0.5α ) = cos0.5α = 2R= sinα = 2sin(0.5α)cos(0.5α)

Отсюда получаем:

x= 2sin(0.5α)

Запишем теорему косинусов для треугольника $△ADB:$

x2 = AD2 +BD2 − 2AD ⋅BD ⋅cosα

2 √- √- 4sin (0.5α)= 1+ 4− 2 3− 2( 3 − 1)cosα

-3−-2√3- √3- cosα= 2(√3− 2) = 2

α= 30∘

$PIC$

Если $DC =2 cosα(√3− 1)− 1,$ то

cosα = -1√+DC--- 2( 3− 1)

Выразим $2 x$ через теорему косинусов для треугольников $△BDC$ и $△ADC,$ приравняем результаты:

√- 2 √- 1+ DC 2 1 +DC 4− 2 3+ DC − 2( 3− 1)CD 2(√3−-1) = 1+DC − 2DC ⋅2(√3-− 1)

- 4− 2√3− CD − CD2 = 1− CD ⋅ 1√+-CD 3− 1

(2− √3)CD2 + (2− √3)CD − 9 +5√3 =0

√- ∘ ------√-- CD = -3−-2±--13√9− 80-3 4− 2 3

Так как

√3 − 2− ∘139-− 80√3 ------4−-2√3------ < 0,

этот корень убираем из рассмотрения.

Если

√ - ∘ ------√-- CD = --3− 2-+-1√39-− 80-3, 4− 2 3

то

2− √3+ ∘139−-80√3 cosα= ----4(3√3−-5)----

Сравним полученный косинус с единицей:

√- ∘------√-- 2−--3+-√139−-80-3∨ 1 4(3 3− 5)

√ - ∘ ------√-- √- 2− 3+ 139− 80 3 ∨12 3− 20

∘ ------√-- √ - 139− 80 3∨ 13 3− 22

√- √- 139− 80 3 ∨991− 572 3

492√3-∨852

√ - 123 3∨213

45387∨45369

Так как $45387 >45369,$

∘ --------- 2-− √3-+-139− 80√3 cosα = 4(3√3 − 5) > 1

Это невозможно, следовательно, единственным ответом к задаче является $α= 30∘.$

Ответ:

$30∘$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Планиметрия на ДВИ

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ