Тема ДВИ по математике в МГУ

Планиметрия на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130314Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB,BC,AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D,$ $E,F$ соответственно. На $BD$ и на $FC$ как на диаметрах построены окружности. Эти окружности касаются отрезка $AE$ в одной и той же точке. Найдите $DF,$ если известно, что $AB :AC =$ $2 :3,$ $BD :F C =$ $1:2$ и что $BC = 12.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, мы видим две окружности и общую к ним касательную. Какую теорему можно записать в этом случае?

Подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей (степень точки K относительно окружностей).

Подсказка 3

Мы знаем длину стороны BC, а найти нужно сторону DF. Можно ли сделать какой-то вывод про △ADF и △ACB?

Подсказка 4

Докажите подобие треугольников и найдите коэффициент подобия.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $BD$ и $F C$ — диаметры и $BD :F C = 1:2$ обозначим радиус окружности, построенной на $BD$ за $r,$ а на $FC$ — $2r.$ Пусть окружности касаются $AE$ в точке $K.$ Тогда $AK$ — касательная. По теореме о касательной и секущей

2 AK = AD ⋅AB

AK2 =AF ⋅AC

Приравнивая выражения, получим:

AF-= AB-= 2 AD AC 3

Получаем, что треугольники $AFD$ и $ABC$ подобны.

Положим $AF = 2x,$ тогда $AD = 3x.$ Тогда получим:

AB-= 3x-+2r-= 2 AC 2x +4r 3

2r=5x

Теперь найдем коэффициент подобия

AC-= 12x =4 AD 3x

Тогда

BC- 12 DF = 4 = 4 = 3

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130322Максимум баллов за задание: 7

Окружности $Ω 1$ и $Ω 2$ находятся внутри окружности $Ω,$ касаются окружности $Ω$ в точках $A$ и $B$ соответственно и касаются друг друга внешним образом в точке $C.$ Пусть $O$ — центр окружности $Ω$ и пусть $D$ — точка пересечения прямой $OC$ с отрезком $AB.$ Найдите отношение $AD :DB,$ если известно, что радиус окружности $Ω$ в три раза больше радиуса окружности $Ω1$ и в пять раз больше радиуса окружности $Ω2.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 5

Показать ответ и решение

Пусть $O 1$ и $O 2$ — центры окружностей $Ω 1$ и $Ω 2$ соответственно. Обозначим $AO = BO =15x,$ $∠AOC = α,$ $∠BOC = β.$ По условию

AO AO O1C = O1A= -3-= 5x и O2C =O2B = -5-= 3x

$PIC$

Заметим, что

SOO1C-= OO1-⋅sinα = O1C SOO2C OO2⋅sinβ O2C

(OA − O1A)⋅sinα O1C (OB-−-O2B)⋅sinβ-= O2C-

10x-⋅sinα 5x 12x ⋅sinβ = 3x

sin α sin-β = 2

Теперь найдем искомое отношение из равенства:

SOAD-= OA-⋅sinα =-AD SOBD OB ⋅sinβ BD

AD- BD = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130357Максимум баллов за задание: 7

Все три плоских угла при вершине $D$ тетраэдра $ABCD$ равны $α.$ Найдите $α,$ если известно, что $AB = BC =AC,$ $AD =1$ и $√- BD = 3 − 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 7

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = BC =AC = x.$ Выразим $x2$ через теорему косинусов для треугольников $△ADB$ и $△BDC$ и приравняем результаты:

√- √ - 2 √- √- 1 +4− 2 3− 2( 3− 1)cosα= DC +4 − 2 3− 2DC (3 − 1)cosα

2 √ - √- DC − 2DC ( 3− 1)cosα− 1+2( 3− 1)cosα =0

DC = 1; 2cosα(√3-− 1)− 1 1,2

$PIC$

Если $DC =1,$ тогда треугольник $△DAC$ равнобедренный с углами $∘ ∠DAC =∠DCA =90 − 0.5α$ при основании. По теореме синусов для треугольника $△DAC:$

-----1------ --1--- -x-- -------x------- sin(90∘− 0.5α ) = cos0.5α = 2R= sinα = 2sin(0.5α)cos(0.5α)

Отсюда получаем:

x= 2sin(0.5α)

Запишем теорему косинусов для треугольника $△ADB:$

x2 = AD2 +BD2 − 2AD ⋅BD ⋅cosα

2 √- √- 4sin (0.5α)= 1+ 4− 2 3− 2( 3 − 1)cosα

-3−-2√3- √3- cosα= 2(√3− 2) = 2

α= 30∘

$PIC$

Если $DC =2 cosα(√3− 1)− 1,$ то

cosα = -1√+DC--- 2( 3− 1)

Выразим $2 x$ через теорему косинусов для треугольников $△BDC$ и $△ADC,$ приравняем результаты:

√- 2 √- 1+ DC 2 1 +DC 4− 2 3+ DC − 2( 3− 1)CD 2(√3−-1) = 1+DC − 2DC ⋅2(√3-− 1)

- 4− 2√3− CD − CD2 = 1− CD ⋅ 1√+-CD 3− 1

(2− √3)CD2 + (2− √3)CD − 9 +5√3 =0

√- ∘ ------√-- CD = -3−-2±--13√9− 80-3 4− 2 3

Так как

√3 − 2− ∘139-− 80√3 ------4−-2√3------ < 0,

этот корень убираем из рассмотрения.

Если

√ - ∘ ------√-- CD = --3− 2-+-1√39-− 80-3, 4− 2 3

то

2− √3+ ∘139−-80√3 cosα= ----4(3√3−-5)----

Сравним полученный косинус с единицей:

√- ∘------√-- 2−--3+-√139−-80-3∨ 1 4(3 3− 5)

√ - ∘ ------√-- √- 2− 3+ 139− 80 3 ∨12 3− 20

∘ ------√-- √ - 139− 80 3∨ 13 3− 22

√- √- 139− 80 3 ∨991− 572 3

492√3-∨852

√ - 123 3∨213

45387∨45369

Так как $45387 >45369,$

∘ --------- 2-− √3-+-139− 80√3 cosα = 4(3√3 − 5) > 1

Это невозможно, следовательно, единственным ответом к задаче является $α= 30∘.$

Ответ:

$30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#130842Максимум баллов за задание: 7

Внутри окружности $Ω$ радиуса 5 отмечена точка $E,$ через которую проведены хорды $AB$ и $CD,$ перпендикулярные друг другу. Найдите все возможные значения расстояния от вершины $F$ прямоугольника $AECF$ до центра $O$ окружности $Ω,$ если известно, что $OE = 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам ведь не просто так дана перпендикулярность, мы определенно воспользуемся ей в будущем, но как это сделать?

Подсказка 2

Скорее всего, перпендикулярность пригодится нам для теоремы Пифагора. Найти мы хотим FO, какие отрезки можно посчитать для этого?

Подсказка 3

Давайте проведем через точку O прямую, параллельную AB, тогда на этой прямой и прямой FA образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой FO!

Подсказка 4

Все равно пока не очень понятно, как считать... Нам даны радиус и отрезок OE, но для чего?

Подсказка 5

А можно ли получить где-то равные им отрезки?

Подсказка 6

Пусть прямая, проведенная через O параллельно AB, пересекается с FA в точке X, с CE — в точке K. Обозначим KO за x, продлим KO за точку X на длину x, получим точку O₁.

Подсказка 7

Запишите теорему Пифагора для треугольников XO₁F и XAO. Можно ли выразить их через известные величины?

Подсказка 8

Сложите полученные выражения и перегруппируйте слагаемые.

Показать ответ и решение

Пусть расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ равно $x.$ Проведем через точку $O$ прямую, параллельную $AB,$ на этой прямой отметим точку $O1,$ находящуюся на расстоянии $c= x$ от прямой $AF$ так, чтобы точки $O$ и $O1$ были по разные стороны от прямой $AF.$

$PIC$

Очевидно, что $O1F = OC = 5$ и $O1A= OE = 1.$ Заметим, что диагонали четырехугольника $AO1F O$ перпендикулярны, обозначим точку пересечения диагоналей за $X,$ введем обозначения:

FX = a, XA = b, O1X =c, OX = d

По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 2 2 2 a + b+ c +d =O1F +AO = O1A + FO

Отсюда можно вычислить $FO:$

2 2 2 2 FO = O1F + AO − O1A = 25+ 25 − 1 =49

FO =7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#131020Максимум баллов за задание: 7

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Найдите все возможные значения угла $∠FEG,$ где $E,$ $F$ и $G$ — центры вписанных окружностей в треугольники $ABC,$ $BCD$ и $ABD$ соответственно.

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Грамотный чертеж поможет решить задачу. Рассматриваются центры вписанных окружностей разных треугольников. Какие построения могут пригодиться?

Подсказка 2

Точно! Нам нужны биссектрисы. Построим их для ∠BAC и∠BDC. Где они пересекутся? Что еще можно про них сказать?

Подсказка 3

Они пересекутся на окружности, в которую вписан ABCD, и на них расположены центры вписанных окружностей треугольников ABC и BCD. Применим лемму о трезубце, что следует из нее?

Подсказка 4

Из леммы о трезубце получим, что EX = BX = XC = FX. Проведем аналогичные действия для биссектрис ∠ACB и ∠BDA, пусть они пересекаются в точке Y. Введем обозначения для дуг AD = x и CD = y. Теперь сможем посчитать ∠XEF и ∠YEG.

Подсказка 5

XEF = 90 - x/4 и YEG = 90 - y/4. Теперь посчитаем, чему равен ∠AEC. Это угол в треугольнике между двумя биссектрисами. А чему равен ∠AEY?

Подсказка 6

Выразите его через ∠AEC. Теперь вернемся к вопросу задачи!

Показать ответ и решение

Проведем биссектрисы углов $BAC$ и $BDC.$ Они пересекутся в точке $X,$ лежащей на окружности. На проведенных биссектрисах будут лежать центры вписанных окружностей $E$ и $F.$

$PIC$

По лемме о трезубце $EX =BX =XC$ и $FX = BX = XC,$ следовательно, $EX = XF.$ Пусть биссектрисы $∠ACB$ и $∠BDA$ пересекаются в точке $Y,$ лежащей на окружности. На проведенных биссектрисах будут лежать центры вписанных окружностей $E$ и $G.$ По лемме о трезубце $AY = YB = YE =Y G.$

Рассмотрим равнобедренные треугольники $EXF$ и $GY E.$ Пусть дуга $AD = x,$ дуга $CD = y,$ тогда $x ∠AXD = 2,$ $y ∠DY C = 2.$ Поскольку $∠XEF = ∠XF E,$ а $∠EXF = x2,$ $∠XEF =90∘− x4.$ Аналогично, $y ∠YEG = 90∘− 4.$

$PIC$

Выведем вспомогательный факт:

$PIC$

Пусть $D′$ — точка пересечения биссектрис углов $B′A′C′$ И $B′C′A ′.$ Тогда если $∠A′B′C ′ =α,$ то

′ ′ ′ ′′ ′ ∘ ∠B AC +∠B C A = 180 − α

Поскольку $A′D′$ и $C′D ′$ лежат на биссектрисах,

∠D ′A′C′+ ∠D′C′A ′ = ∠B′A′C′+-∠B′C′A′= 90∘ − α 2 2

По сумме углов в треугольнике $A′D ′C′$

′′ ′ ∘ α- ∠A D C = 90 + 2

Вернемся к исходной картинке. Рассмотрим треугольник $ABC.$ В нем $E$ — точка пересечения биссектрис. Тогда

∘ ∠B ∠AEC =90 + -2-

Кроме того,

∠AEY = 90∘− ∠2B-=90∘− x+4y

В итоге,

∠GEF = 180∘− ∠AEG − ∠XEF =180∘− ∠YEG − ∠XEF + ∠YEA = 180∘− 90∘ =90∘

Ответ:

$90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#132617Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности $Ω 1$ и $Ω 2$ соответственно. Через точку $D$ пересечения этих окружностей (отличную от $A),$ проведена прямая, пересекающая $Ω1$ и $Ω2$ в точках $E$ и $F$ соответственно, причем $E$ и $F$ лежат по одну сторону от $AD$ (и отличны от $D ).$ Расстояние от $A$ до середины $M$ стороны $BC$ равно 3, расстояние от $A$ до середины $N$ отрезка $EF$ равно 2. Найдите $MN.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала рассмотрим точку D. Где она лежит?

Подсказка 2

Верно, точка D — это основание высоты из точки A. Теперь внимательно посмотрим на чертёж: нам даны две окружности, значит, где-то точно есть вписанный четырёхугольник...

Подсказка 3

Например, такими являются ABED и AFCD. Воспользуйтесь свойствами вписанных четырёхугольников, чтобы найти равные уголочки. Что можно сказать про треугольники ABC и AEF?

Подсказка 4

Да, эти треугольники подобны! Теперь попробуйте доказать, что четырёхугольник AMND — вписанный, используя равенство некоторых углов.

Показать ответ и решение

$PIC$

Точка $D,$ как можно видеть, основание высоты из $A.$ Докажем, что $A,$ $M,$ $N,$ $D$ лежат на одной окружности, для этого мы проверим, что $∠NDM = ∠MAN.$ Так как точки $A,$ $B,$ $E,$ $D$ лежат на одной окружности, то

∠AED = 180∘ − ∠ABC

Откуда так, как $D,$ $E,$ $F$ на одной прямой $∠FEA = ∠ABC.$ Аналогично $∠EF A =∠BAC.$

Из этих двух равенств следует, что $△ABC$ подобен $△AEF.$ А так как $AN$ и $AM$ медианы в подобных треугольниках, то $∠EAN =∠BAM.$ Откуда сразу следует, что

∠MAN =∠NAE +∠EAM = ∠BAM + ∠MAE =∠BAE

Снова воспользуемся тем, что точки $A,$ $B,$ $E,$ $D$ лежат на одной окружности:

∘ ∠MAN = ∠BAE = 180 − ∠BDE =∠NDM

Значит, мы доказали, что $A,$ $M,$ $N,$ $D$ лежат на одной окружности.

Дальше пользуемся этим и получаем,что $∠ANM =∠ADM = 90∘.$ Поэтому применяем теорему Пифагора:

∘---2-----2 √- MN = AM − AN = 5

Ответ:

$√5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#132900Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD.$ Известно, что $AD :BC =√3-:2$ и что $∠BAC = 45∘.$ Найдите $∠BMC,$ где $M$ — точка пересечения медиан.

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть отношение отрезков, можем ли через него выразить что-то еще?

Подсказка 2

Если BC = 2x, то мы можем выразить AD и DM через x. Кажется, обнаружены подобные треугольники, какие?

Подсказка 3

△ADB∼△BDM, из подобия получаем равные углы у этих треугольников. Какие тогда треугольники тоже будут подобны?

Подсказка 4

△ADC∼△CDM. Получили 2 пары равных углов: ∠BMD=∠DBA, ∠DMC=∠DCA. Осталось ими воспользоваться и найти искомый угол!

Показать ответ и решение

Введём обозначение $AD =√3x,$ тогда $BC = 2x$ из условия на отношения сторон.

$PIC$

Так как $AD$ — медиана, то $BD = x,$ а так как $M$ — точка пересечения медиан, то

x DM = √3-

Заметим два подобных треугольника $△ADB$ и $△BDM,$ так как $∠D$ — общий и $√ - AD :DB = BD :DM = 3.$ Из этого подобия следует, что $∠BMD =∠DBA,$ аналогично для вершины $C,$ получаем, что $∠DMC = ∠DCA.$

Осталось использовать эти два равенства вместе:

∠BMC = ∠BMD +∠CMD = ∠DBA + ∠DCA = 180∘ − ∠BAC =135∘

Ответ:

$135∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91956Максимум баллов за задание: 7

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ , касается стороны $AC$ в точке $D$ . Известно, что $AD = 2+ √3,CD = √3$ . Найдите угол $∠CAB$ , если известно также, что он в два раза меньше угла $∠ACB$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть I – инцентр треугольника △АВС, давайте обозначим угол ВАI = α, чему тогда равны остальные углы на рисунке?

Подсказка 2

Для решения задачи нам нужно просто найти угол α, для этого достаточно найти значение какой-нибудь тригонометрической функции этого угла. Попробуйте рассмотреть треугольники △AID и △IDC для того, чтобы составить систему уравнений с ID и α, решив эту систему, мы как раз сможем найти tgα!

Показать ответ и решение

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC.$ Пусть $∠BAC = 2α.$ По свойству вписанной окружности $BI$ и $CI$ — биссектрисы углов $B$ и $C.$ Тогда $∠BAI = ∠IAD =α.$ По условию $∠BCA = 2∠BAC,$ поэтому $∠BCI = ∠ICA= 2α.$ Найдем $tg2α,$ тогда задача будет решена.

$PIC$

$ID$ перпендикулярно $AC,$ так как $D$ — точка касания вписанной окружности и стороны $AC$ . Тогда

tgα= AIDD-, tg2α= CIDD-.

Таким образом,

√- tg2α-= 2+√--3. tgα 3

Получаем уравнение

√- √ - 3tg2α= (2+ 3)tgα

По формуле тангенса двойного угла $tg2α= -2tgα 1−tg2α$ получаем

√ --2tgα-- √- 31− tg2α =(2+ 3)tgα

Сокращаем на $tgα$ и умножаем на знаменатель:

√- √- 2 3= (2+ 3)(1− tg2α)

Выражаем квадрат тангенса и получаем

2− √3 √- tg2α= 2+-√3 = (2− 3)2

Угол $α$ — острый, поскольку сумма углов треугольника равна $180∘,$ то есть $2α +4α +∠ABC = 180∘,$ откуда $6α< 180∘.$ Получаем, что $α < 30∘.$ Тогда $tgα= 2− √3.$ Подставим это в формулу для тангенса двойного угла:

√- √- tg2α= 2(2−--3√)(2+--3)= √1- 2 3 3

Таким образом, $∘ 2α= 30.$

Ответ:

$30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91979Максимум баллов за задание: 7

Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность. На дуге $CA$ (не содержащей точку $B$ ) этой окружности отмечена некоторая точка $P$ . Прямая, проходящая через точки $B$ и $H$ , где $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$ , пересекает отрезок $AP$ в точке $Q$ . Найдите отношение $AC$ к $BC$ , если известно, что точки $C,P,Q,H$ лежат на одной окружности.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните свойства вписанных четырёхугольников, что мы можем сказать об их противоположных углах? Итак, ∠CHQ + ∠CPQ = 180°, попробуем связать каждый из этих углов с углами △АВС.

Подсказка 2

Свойства вписанных четырёхугольников помогут нам с ∠CPQ, а работа с прямоугольными треугольниками поможет с ∠CHQ. Сделайте вывод!

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что

∠AHcH + ∠AHbH = 90∘+90∘ = 180∘,

поэтому четырёхугольник $AHbHHc$ вписанный, а значит, $∠A = ∠CHQ.$

Точки $A,B,C,P$ лежат на одной окружности по условию, поэтому

∠AP C = 180∘ − ∠B.

Вспоминая то, что по условию ещё и точки $C,P,Q,H$ лежат на одной окружности, получим:

∘ ∠CHQ = 180 − ∠AP C = ∠B

Значит, $∠A= ∠B =⇒ AC = BC.$

Ответ: 1 : 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92116Максимум баллов за задание: 7

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ , отличная от $B$ и C. Пусть $E$ — точка пересечения отрезка $AC$ с окружностью, описанной около треугольника $ABD$ , отличная от $A$ . Пусть $F$ — точка пересечения отрезка $AB$ с окружностью, описанной около треугольника $ACD$ , отличная от $A$ . Пусть $′ ′ ′ D ,E ,F$ — точки пересечения окружности, описанной около треугольника $ABC$ , с прямыми $AD,BE,CF$ соответственно, отличные от точек $A,B,C$ . Найдите угол $′ ′′ ∠E D F$ , если известно, что $∘ ∠EDF =30 .$

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия понятно, что, так как многие точки были построены как пересечение окружностей с прямыми, на картинке есть вписанные четырехугольники (и, следовательно, углы). Быть может, тогда рассмотрим, чему равны части нужного нам угла?

Подсказка 2

Нужный нам угол состоит из двух частей, обе из которых вписаны в окружность (ABC). Какие углы, вписанные в эту же окружность, им равны?

Подсказка 3

Углы ∠AD’E´и ∠ABE’ равны, аналогично и ∠AD’F’ с ∠ACF’. То есть вместо одного угла нам нужно посчитать сумму углов ∠ABE’ и ∠ACF’. А в каких вписанных четырехугольниках они присутствуют?

Подсказка 4

∠ABE’ расположен во вписанном четырехугольнике ABDE, а ∠ACF’ — в ACDF!

Показать ответ и решение

Докажем, что $∠E ′D′F′ = ∠EDF.$ Для этого покажем, что они состоят из одинаковых углов.

$PIC$

$∠AD′F′ = ∠ACF′,$ так как они опираются на одну дугу окружности, описанной около треугольника $ABC.$ А также из того, что $AF DC$ вписанный следует, что $∠ACF ′ = ∠ADF.$

Таким образом, показано, что $∠AD′F′ = ∠ADF.$ Совершенно аналогично доказывается, что $∠AD ′E ′ =∠ADE.$

В итоге $∠E′D′F ′ =∠EDF = 30∘.$

Ответ:

$30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92261Максимум баллов за задание: 7

В окружность $Ω$ вписан четырёхугольник $ABCD$ . На стороне $BC$ отмечена точка $E$ таким образом, что $CD = CE = 1$ и $∘ ∠AED =30$ . Найдите радиус окружности $Ω$ , если известно, что $∘ ∠ACD =25$ и $∘ ∠ACB = 75$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии нам даны углы и равные стороны, давайте тогда попробуем посчитать и другие!

Подсказка 2

∠DAB = 80°, а ∠CAE = 35°! Давайте теперь подумаем, а на что намекает нам поиск радиуса описанной окружности треугольников, в которых известны некоторые стороны и углы?

Подсказка 3

Будем пользоваться теоремой синусов! Было бы удобно для этого выбрать треугольники с известными углами и с общими сторонами.

Подсказка 4

Применим теорему синусов для треугольников △DCE, △ACD и выразим DE и AD через тригонометрические функции и ∠DAC! А в каком треугольнике мы можем связать эти две стороны с помощью пропорции?

Подсказка 5

Запишем пропорцию со сторонами AD и DE из теоремы синусов для треугольника △ADE! Теперь мы можем подставить раннее найденные представления этих сторон и выразить 2*sin(25).

Подсказка 6

2sin(25°) = sin(∠DAC)*2*cos(40°)/sin(∠DAC+35°). Осталось лишь найти, чему может быть равен ∠DAC и найти радиус известным ранее способом ;)

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

$∠CDE = ∠CED = 40∘$ из треугольника $CDE,$ $∠CAE = 35∘$ из треугольника $CEA,$ $∠DAB = 80∘$ из вписанности четырёхугольника $ABCD.$

По теореме синусов для треугольника $DCE :$

--DE-- = --1-,DE = sin-80∘ =2cos40∘. sin100∘ sin40∘ sin 40∘

По теореме синусов для треугольника $ACD :$

----1---= -AD--,AD = -sin25∘-. sin∠DAC sin 25∘ sin∠DAC

Наконец, применяя теорему синусов для $ADE$ :

-AD-- -----DE------ sin 30∘ = sin(∠DAC +35∘).

Подставляем в последнюю пропорцию выражения для $AD$ и $DE$ , которые получили выше:

∘ sin∠DAC--⋅2-cos40∘ 2sin25 = sin(∠DAC +35∘) .

Отсюда видно, что $∠DAC =30∘$ подходит, т.к. $sin 65∘ = cos25∘$ , а из

sin50∘ sin(∠DAC + 35∘) sin25∘-= 2cos25∘ =---sin∠DAC----= cos35∘+ sin35∘ctg∠DAC.

понятно, что этот угол определяется однозначно (он лежит в интервале от $0$ до $π$ , и мы знаем численное значение его котангенса).

Таким образом, можно выразить радиус окружности из треугольника $DAC :$

R = 1⋅--1-∘ =1. 2 sin 30

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Посчитаем углы:

∠DCE =∠ACE +∠DCA =100∘

∘ ∠CDE =∠CED =40

∠EAC =180∘− ∠AEC − ∠ECA =35∘

Отметим на $AE$ такую точку $F,$ что $∠CF E =40∘ :$

$PIC$

Тогда $∠FCA =35∘,$ то есть $∠FCA = ∠EAC,$ откуда $F A= FC.$ А $∠EF C =70∘,$ то есть $∠EFC = ∠AEC,$ откуда $FC = EC = CD =1.$ Значит, треугольник $FDC$ равнобедренный, а так как $∠F CD =60∘,$ то $FDC$ ещё и равносторонний, то есть $FC = CD = FD.$

Итак, мы получили, что

FA =F D =FC = 1,

откуда точка $F$ является центром окружности, описанной около треугольника $ACD.$ Отсюда искомый радиус равен 1.

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92346Максимум баллов за задание: 7

Окружность $Ω 1$ с центром $O 1$ и окружность $Ω 2$ с центром $O 2$ пересекаются в точках $A$ и $B,$ причем $∠O AO =120∘. 1 2$ Окружность, описанная около треугольника $O1AO2$ пересекает окружности $Ω1$ и $Ω2$ соответственно в точках $C$ и $D$ (отличных от точки $A$ ). Найдите угол $∠BDC,$ если известно, что $∘ ∠ACB = 15 .$

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про треугольники O₁AO₂ и O₁BO₂? Чем они образованы? Также на рисунке есть немало вписанных углов, давайте отметим те, что связаны с известным ACB!

Подсказка 2

Углы AO₁O₂, BO₁O₂ и ACB равны 15°. Было бы удобно, если бы углы O₁O₂B (его мы можем теперь посчитать) и BDC были аналогично равны, но мы не знаем, лежат ли точки O₁, B, D на одной окружности. Докажем это!

Подсказка 3

Введите точку D’ как пересечение O₁B с со второй окружностью и докажите, что O₁AO₂D’ — вписанный четырехугольник! Для этого можно, например, поотмечать и посчитать уголки ;)

Показать ответ и решение

Треугольники $O AO 1 2$ и $O BO 1 2$ равны по трем сторонам, поэтому $∠AO O = ∠BO O . 1 2 1 2$ Угол $AO B 1$ опирается на дугу $AB$ и является центральным, поэтому оба угла $AO1O2$ и $BO1O2$ равны половине дуги $AB,$ как и опирающийся на нее вписанный угол $ACB.$ Таким образом, $∘ ∠AO1O2 =∠BO1O2 = ∠ACB = 15 .$ Тогда из треугольника $AO1O2$ получаем $∘ ∠AO2O1 = 45.$

$PIC$

Докажем, что точки $C,B$ и $O2$ лежат на одной прямой. Для этого введем точку $C′,$ получающуюся пересечением окружности $Ω1$ и прямой $O2B$ и точку $T,$ получающуся пересечением окружности $Ω2$ и прямой $O2B.$ Докажем, что $C = C′.$ Для этого докажем, что $C ′O1AO2$ — вписанный четырехугольник.

Так как $△O1AO2 = △O1BO2,$ то $∠AO2O1 = ∠BO2O1.$ Угол $AT B$ вписан, поэтому равен половине дуги $AB,$ откуда $∠AT B = ∠AO2O1.$ Треугольник $ATO2$ равнобедренный, поэтому $∠T AO2 = ∠ATO2.$ Рассмотрим треугольники $△ATC ′$ и $△O1AO2.$ В них $∠AO1O2 = ∠AC ′T$ (доказательство аналогично тому, что приведено выше для угла $ACB$ ), $∠AT B = ∠AO2O1.$ Тогда и $∠O1AO2 = ∠C′AT.$ Вычитая из этих углов общую часть — $∠C ′AO2,$ получаем $∠O1AC ′ =∠O2AT.$ Треугольник $AO1C′$ равнобедренный, значит, $∠O1AC ′ =∠O1C ′A.$ Тогда получается, что в описанной окружности треугольника $O1AO2$ углы $O1O2C$ и $BDC$ вписаны и опираются на одну дугу, поэтому равны, причём $∠AO2O1 = ∠BO2O1 =45∘.$

$PIC$

∠O1C′O2+ ∠O1AO2 =(∠O1C′A+ ∠AC ′O2)+ ∠O1AO2 =(∠AO2O1 +∠AO1O2 )+∠O1AO2 = 180∘

Таким образом, $′ O1AO2C$ — вписанный четырёхугольник, то есть описанная окружность треугольника $O1AO2$ пересекает $Ω1$ в точке $C′ = C,$ поэтому $C,B,O2$ — одна прямая. Аналогично можно доказать, что $D,B,O1$ — одна прямая. В итоге $∠BDC =45∘.$

Ответ:

$45∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92365Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ угол $A$ является тупым. На стороне $BC$ отмечена точка $D$ таким образом, что $AC = CD$ . При этом окружность, описанная около треугольника $ACD$ , касается прямой $AB$ в точке $A.$ На прямой $AD$ отмечена точка $E$ таким образом, что $CE = EA = AB.$ Найдите отношение $BC :AB.$

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуем чертёж и подумаем – откуда могло бы взяться искомое отношение? Длины сторон нам неизвестны, на равнобедренный треугольник не похож, что остаётся делать?

Подсказка 2

Будем думать про углы и искать подобия! Как можно в этом контексте использовать условие об окружности и касательной?

Подсказка 3

Вспоминаем теорему об угле между касательной и хордой! Теперь у нас появилась пара равнобедренных треугольников, у которых равны углы при вершине – какой вывод можно сделать?

Подсказка 4

Выходит, треугольники EAB и ACD подобны! Отметьте в них равные углы и сделайте вывод о четырёхугольнике ABEC.

Подсказка 5

Осталось поработать с отношениями в подобных треугольниках и свойствами параллелограмма, после чего задача будет побеждена!

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству угла между касательной и хордой $∠EAB = ∠ACD.$ А учитывая, что треугольники $EAB$ и $ACD$ равнобедренные, можем сказать, что они подобны. Значит, $∠AEB = ∠CAD,$ а т.к. треугольник $ACE$ равнобедренный, то $∠ACE =∠CAD = ∠AEB.$ Следовательно, $∠AEC =∠EAB,$ из этого получаем, что $CE ∥AB,$ а раз $CE = AB,$ то $ABEC$ — параллелограмм.

Пусть $AC = y,AB =2x,$ тогда запишем подобие треугольников $ACD$ и $EAB$ с учётом, что $D$ — точка пересечения диагоналей в параллелограмме

AC-= AD- AB BE

y-= x 2x y

В итоге получаем

BC 2y √ - AB-= 2x = 2

Ответ:

$√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89778Максимум баллов за задание: 7

Вписанная в прямоугольный треугольник $ABC$ окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $F.$ Найдите $sin∠CBD,$ если известно, что $√-- sin∠CAF = 1∕ 10.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для нашего удобства обозначим CD = x, BF = y, AD = z. Также отметим, что E — точка касания окружности с гипотенузой треугольника. Какие равенства можно записать в первую очередь?

Подсказка 2

Помним, что отрезки касательных из одной точки равны, и записываем теорему Пифагора! Получится довольно интересное уравнение, в котором так и захочется привести подобные…а как использовать синус?

Подсказка 3

Приведя подобные слагаемые, мы приходим к тому, что x/y * x/z + x/y + x/z = 1. Тут есть одинаковые множители, которые так и хочется вынести)

Подсказка 4

(x/y + 1)(x/z + 1) = 2. Осталось лишь понять, как же нам выразить z через x, а в этом нам поможет условие, а именно — тангенс известного угла!

Показать ответ и решение

Положим $CD = x,BF = y,AD =z$ . Тогда $CF = x,BE = y,AE =z$ , где $E−$ точка касания окружности с гипотенузой.

$PIC$

По теореме Пифагора $(x+ y)2 +(x+ z)2 = (y+ z)2$ .

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем $x2 +xy+ xz = yz$ или, что то же самое,

x⋅ x + x+ x =1. y z y z

Раскладывая на множители, получаем

( x )(x ) y + 1 z +1 =2.

По условию $√-- sin∠CAF =1∕ 10$ . Тогда $√ -- cos∠CAF = 3∕ 10$ и $tg ∠CAF = 1∕3$ . Стало быть, $x∕(x+ z)= 1∕3$ , откуда $z =2x$ .

Подставляя $x 1 z =2$ в полученное выше соотношение, получаем $y = 3x$ . Тогда $tg ∠CBD = 1∕4$ , откуда $√ -- sin∠CBD = 1∕ 17$ .

Ответ:

$√-1- 17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#89916Максимум баллов за задание: 7

Прямая $ℓ$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$ , в точке $A$ . Известно, что $AB > AC$ и что $AC = 1$ . На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $AD = AC$ . Прямая, проходящая через точку $D$ и через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , пересекает прямую $ℓ$ в точке $E$ . Найдите длину отрезка $AE$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно вывести из того, что точка I, центр вписанной окружности △ABC, лежит на DE? Как можно это связать с равенством AD и AC?

Подсказка 2

Углы ∠ADI и ∠ACI равны половине ∠B! А как воспользоваться тем, что AE — касательная?

Подсказка 3

Углы ∠CAE и ∠ABC также равны! Теперь у нас на картинке достаточно много равных углов, но всё еще не посчитан ∠AED…так сделаем же это!

Показать ответ и решение

Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Поскольку $AD =AC$ , точка $I$ лежит и на биссектрисе, и на высоте треугольника $ADC$ . Следовательно,

1 ∠ADI =∠ACI = 2∠ACB.

$PIC$

Так как $ℓ−$ касательная, то $∠EAC = ∠ABC$ , а отсюда

∠AED +∠ADE =180∘− ∠DAE = 180∘− (∠DAC +∠EAC )=

= 180∘− (∠BAC + ∠ABC) =∠ACB =2∠ACI = 2∠ADE.

Стало быть, $∠AED =∠ADE$ , то есть треугольник $AED$ равнобедренный и $AE = AD = AC =1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#89917Максимум баллов за задание: 7

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. На его диагонали $AC$ отмечена точка $E$ , а на продолжении этой диагонали за точку $C$ отмечена точка $F$ таким образом, что $∠ADE =∠CBF.$ Найдите угол $∠CDF$ , если известно, что $∘ ∠ABE = 15 .$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то поотмечать равные углы. Притом хочется, чтобы эти углы как-то были связаны с равными углами ADE и CBF. Что можно вывести из того, что ABCD — вписанный?

Подсказка 2

Углы ADB и ACB равны! Что можно вывести из этого?

Подсказка 3

Заметим, что из равенств углов ACB и ADB, а также FBC и EDA, следует, что углы BFC и BDE тоже равны! Как это использовать в дальнейшем?

Подсказка 4

Четырехугольник EBFD вписанный! Попробуем внимательно посмотреть на картинку. А на два вписанных четырехугольника, причем в одном из них часть угла равна 15. Как можно связать углы этих четырехугольников?

Подсказка 5

Вспоминаем, что во вписанных четырехугольниках сумма противоположных углов равна 180! Осталось лишь понять, как воспользоваться этим при нахождении угла CDF — части угла EDF.

Показать ответ и решение

$PIC$

Углы $∠ADB$ и $∠ACB$ равны как опирающиеся на одну дугу. При этом $∠ADB =$ $∠ADE +∠EDB$ и $∠ACB =∠CBF +∠CF B$ . Поскольку по условию $∠ADE = ∠CBF$ , получаем $∠EDB = ∠CFB$ . Отсюда следует, что четырёхугольник $BFDE$ вписанный. В частности, $∠BEF = ∠BDF$ . При этом $∠BEF =∠BAE +∠ABE$ и $∠BDF =∠BDC +∠CDF$ . Поскольку углы $∠BAE (=∠BAC )$ и $∠BDC$ равны как опирающиеся на одну дугу, получаем $∠CDF = ∠ABE = 15∘$ .

Ответ:

$15∘$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#89918Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE$ . На $DE$ как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает отрезки $AE$ и $AD$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите длину отрезка $FG,$ если известно, что $BC = 25,BD =20$ и $BE = 7.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны какие-то стороны в прямоугольных треугольниках, так что сразу хочется найти оставшиеся стороны в них ;) что еще хочется сказать о прямоугольных треугольниках на картинке? Как связать их стороны?

Подсказка 2

Находим, что CD = 15, CE = 24. Рассматривая треугольники, в которых они состоят, замечаем, что треугольники ABD и ACE подобны! Какие полезные соотношения можно из этого вывести?

Подсказка 3

AD/AE = 5/6 = (AE+7)/(AD+15). Видим, что из этого можем найти AD и AE! Какие выводы можно сделать из их длин?

Подсказка 4

AD=15, AE=18. Интересно, у нас появились равнобедренные треугольники ;) А что можно вывести из того, что малая окружность построена на DE как на диаметре?

Подсказка 5

Треугольник EDA — равнобедренный, и в нем DF — высота. Нам хочется как-то подобраться к подобию треугольника AFG с кем-то, чтобы найти нужный отрезок. Стало быть нужно посчитать углы… для этого не забываем, что при проведении высот образуется несколько вписанных четырехугольников ;)

Показать ответ и решение

Из прямоугольных треугольников $BCD$ и $BCE$ получаем $CD = √252−-202 =15$ и $CE = √252− 72 = 24$ .

$PIC$

Из подобия прямоугольных треугольников $ABD$ и $ACE$ получаем

AD-= BD-= 20= 5 и AE-+-7-= AB-= BD-= 5. AE CE 24 6 AD +15 AC CE 6

Из этих двух соотношений на $AD$ и $AE$ получаем $AD = 15,AE = 18$ . Таким образом, $AD = DC$ , откуда $ED = AD$ , то есть треугольник $AED$ равнобедренный. Поскольку же $DE$ — диаметр окружности, $DF ⊥AE$ , то есть $DF$ — высота и медиана треугольника $AED$ . Стало быть, $AF = 1AE = 9 2$ . Наконец, отметим, что четырёхугольники $BCDE$ и $EDGF$ вписанные, откуда следует, что $∠ABC = ∠ADE = ∠AFG$ . Значит, $FG∥BC$ , то есть треугольники $ABC$ и $AFG$ подобны. Но, как мы отметили выше, $AD = DC$ . Отсюда следует, что $BC = AB$ и, стало быть, $F G= AF = 9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90273Максимум баллов за задание: 7

Из точки $E$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ опущены перпендикуляры $EK, EL,EM,EN$ на его стороны $AB,BC,CD,AD$ соответственно, причём основания перпендикуляров принадлежат соответствующим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника $KLMN,$ если известно, что $KL = 5,MN = 3,$ а расстояние от точки $E$ до прямой $LM$ равно $√ - 3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

После построения перпендикуляров из точки E, на картинке образовалось много четырехугольников и прямых углов. Быть может, можно заметить что-то полезное благодаря этому?

Подсказка 2

Что можно сказать, например, о четырехугольнике ENAK?

Подсказка 3

Он вписанный! Смотрите-ка, у нас появилось 4 вписанных четырехугольника ;) давайте тогда отметим равные углы, вытекающие из этого! А еще надо вспомнить условие на ABCD…

Подсказка 4

ABCD тоже вписанный! Отметив все равные углы, приходим к выводу: углы ∠ENK, ∠BAC, ∠BDC, ∠MNE равны! Что тогда можно сказать о EN?

Подсказка 5

Это биссектриса угла MNK! А какое свойство биссектрисы связано с перпендикулярами?

Подсказка 6

Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла! Тогда воспользуемся этим при вычислении длин перпендикуляров) А что тогда можно сказать о точке E?

Подсказка 7

Точка E — это центр окружности, вписанной в четырехугольник MNKL! А какая у нас есть удобная формула площади для такого четырехугольника?

Подсказка 8

S = p*r, где p — периметр, а r — радиус вписанной окружности!

Показать ответ и решение

Поскольку $∠AKE = ∠ANE = 90∘,$ четырёхугольник $AKEN$ вписанный и $∠ENK =∠EAK$ как опирающиеся на одну дугу. Аналогично, $∠MNE = ∠MDE.$

По условию $ABCD$ — вписанный, поэтому $∠BAC = ∠BDC.$ Отсюда,

∠ENK = ∠BAC = ∠BDC =∠MNE.

Следовательно, $NE$ — биссектриса угла $MNK,$ то есть точка $E$ равноудалена от $NK$ и $MN.$ Аналогично, точка $E$ равноудалена от всех сторон четырёхугольника $KLMN,$ то есть является центром вписанной в него окружности.

$PIC$

Получается, $KLMN$ — описанный, а суммы длин противоположных сторон описанного четырёхуголька равны. Значит, периметр $KLMN$ равен $2(KL +MN )=16.$ Радиус же описанной окружности равен расстоянию от точки $E$ до прямой $LM,$ которое по условию равно $√- 3.$

Вспомним формулу площади описанных фигур

S = p⋅r,

где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Итак, тогда площадь $KLMN$ равна $1 √- √ - 2 ⋅16⋅ 3 =8 3.$

Ответ:

$8√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90135Максимум баллов за задание: 7

Середины сторон выпуклого четырёхугольника $ABCD$ лежат на окружности. Известно, что $AB = 1,BC = 4,CD =8$ . Найдите $AD$ .

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем найти еще какие-то хорошие свойства у внутреннего четырехугольника? Какими являются его стороны?(попарно противоположные)

Подсказка 2

Внутренний четырёхугольник является параллелограммом! Так он еще и вписан….кто же он тогда?

Подсказка 3

Внутренний четырехугольник является прямоугольником! Что тогда можно сказать про диагонали большего четырехугольника?

Подсказка 4

Диагонали большего четырехугольника перпендикулярны! Чем тогда можно воспользоваться при вычислении сторон большего четырехугольника?

Подсказка 5

Можно воспользоваться теоремой Пифагора для четырех треугольников, на которые разбился больший четырехугольник!

Показать ответ и решение

Четырёхугольник $EFGH$ является параллелограммом, поскольку стороны попарно параллельны диагоналям $ABCD$ , но раз он вписан, то также является прямоугольником, то есть диагонали $ABCD$ перпендикулярны.

$PIC$

Пусть $AC∩ BD = I$ , отсюда $AI2 +BI2 = 1,BI2+ CI2 = 16$ и $CI2 +DI2 =64$ , тогда

AI2+ DI2 = AD2 =1+ 64− 16=49

AD =7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#49757Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно. Точки $B,C,E,D$ лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$ , если известно, что $∠CDE =∠BAC$ и что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ , равен $1.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 206, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам не дано никаких длин сторон, что явно намекает на необходимость использовать подобия и(или) теорему синусов! Значит, будем в первую очередь работать с углами: какие равенства можно вывести из вписанности четырёхугольника СEDB? Отметьте углы, опирающиеся на одну дугу.

Подсказка 2

Подобными △ABC и △ADC, похоже, не являются. Значит, будем искать связь для теоремы синусов! Удобно взять их общую сторону АС и попытаться установить связь между синусами ∠ADC и ∠ABC.

Подсказка 3

Работая с равенствами и суммой углов треугольника, можно сделать вывод о том, что ∠ABC = 180° - ∠ADC. Тогда что мы можем сказать об их синусах?) Осталось применить теорему синусов и записать ответ!

Показать ответ и решение

Из условия и из равенства вписанных углов получаем

∘ ∠ABC = ∠DBE + ∠CBE = ∠DCE + ∠CDE = ∠DCE + ∠DAC = 180 − ∠ADC.

Стало быть, $sin ∠ABC = sin(180∘− ∠ADC) =sin∠ADC$ , откуда видим, что радиусы окружностей, описанных около $ΔABC$ и $ΔADC$ , равны по теореме синусов.

$PIC$

Ответ:

$1$