Планиметрия на ДВИ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырехугольник 
вписан в окружность. Найдите все возможные значения угла 
где 
и 
— центры вписанных
окружностей в треугольники 
и 
соответственно.
Источники:
Подсказка 1
Грамотный чертеж поможет решить задачу. Рассматриваются центры вписанных окружностей разных треугольников. Какие построения могут пригодиться?
Подсказка 2
Точно! Нам нужны биссектрисы. Построим их для ∠BAC и∠BDC. Где они пересекутся? Что еще можно про них сказать?
Подсказка 3
Они пересекутся на окружности, в которую вписан ABCD, и на них расположены центры вписанных окружностей треугольников ABC и BCD. Применим лемму о трезубце, что следует из нее?
Подсказка 4
Из леммы о трезубце получим, что EX = BX = XC = FX. Проведем аналогичные действия для биссектрис ∠ACB и ∠BDA, пусть они пересекаются в точке Y. Введем обозначения для дуг AD = x и CD = y. Теперь сможем посчитать ∠XEF и ∠YEG.
Подсказка 5
XEF = 90 - x/4 и YEG = 90 - y/4. Теперь посчитаем, чему равен ∠AEC. Это угол в треугольнике между двумя биссектрисами. А чему равен ∠AEY?
Подсказка 6
Выразите его через ∠AEC. Теперь вернемся к вопросу задачи!
Проведем биссектрисы углов 
и 
Они пересекутся в точке 
лежащей на окружности. На проведенных биссектрисах будут
лежать центры вписанных окружностей 
и 
По лемме о трезубце 
и 
следовательно, 
Пусть биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
лежащей на окружности. На проведенных биссектрисах будут лежать центры вписанных окружностей 
и 
По лемме о трезубце 
Рассмотрим равнобедренные треугольники 
и 
Пусть дуга 
дуга 
тогда 
Поскольку 
а 
Аналогично, 
Выведем вспомогательный факт:
Пусть 
— точка пересечения биссектрис углов 
И 
Тогда если 
то
Поскольку 
и 
лежат на биссектрисах,
По сумме углов в треугольнике 
Вернемся к исходной картинке. Рассмотрим треугольник 
В нем 
— точка пересечения биссектрис. Тогда
Кроме того,
В итоге,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
