Планиметрия на ДВИ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке 
. Хорда 
внешней окружности касается внутренней окружности в точке 
.
Прямая 
пересекает внешнюю окружность в точках 
и 
. Найдите площадь четырёхугольника 
, если известно, что
, а радиусы окружностей относятся как 
Источники:
Подсказка 1
Обозначим через Х и У точки пересечения внутренней окружности с отрезками АТ и ВТ. Вспомните про лемму Архимеда. Что можно сказать про отрезки АВ и ХУ?
Подсказка 2
Да, они параллельны! Вспомните о том, какие у нас есть вообще теоремы, в которых мы говорим об отношениях отрезков и которые похожи на эту задачу. В первую очередь, мы умеем работать с подобными треугольниками и во-вторых, у нас есть теорема о касательной и секущей! Воспользуйтесь ими, чтобы найти максимум отношений отрезков!
Подсказка 3
Посмотрите на отношения AS/BS и AT/BT. Какую теорему напоминает?
Подсказка 4
Верно, это обратная теорема о биссектрисе! Отметьте все равные углы, которые найдете и поищите параллельные прямые!
Подсказка 5
Посмотрите внимательно на четырехугольник ТАВС. Что можно о нем сказать? Воспользуйтесь всем, что узнали о четырехугольниках, о подобных треугольниках и попробуйте посчитать те величины, которые считаются!
Подсказка 6
Помните, если у нас есть трапеция, для вычисления ее площади мы можем найти высоту и среднюю линию и посчитать площадь, зная уже эти величины!
Обозначим через 
и 
точки пересечения внутренней окружности с отрезками 
и 
соответственно.
Проведём общую касательную окружностей в точке 
Тогда угол между касательной и хордой большей окружности 
равен углу
и тот же угол между касательной и хордой 
меньшей окружности равен углу 
Применяя теорему о касательной и секущей, получаем
то есть,
что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что 
. Но из равенства 
следует, что
стало быть, 
, то есть четырёхугольник 
- трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит,
.
Далее, треугольники 
и 
подобны с коэффициентом подобия 
5/3. Следовательно, 
, а
средняя линия трапеции 
равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим
катетом 1 , то есть равна 
. Таким образом, искомая площадь равна 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
