Тема ДВИ по математике в МГУ

Планиметрия на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#63660Максимум баллов за задание: 7

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$ , пересекает сторону $BC$ в точке $E$ , а диагональ $AC$ – в точке $F$ . Найдите площадь четырёхугольника $ABEF$ , если $BE = 8,EC = 4$ , а точки $D,F,E$ лежат на одной прямой.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 204, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поскольку ABEF не является какой-нибудь "удобной" фигурой, её площадь удобнее всего искать как разность площадей знакомых нам фигур: например, △ABC и △CFE. Для этого нам понадобятся ещё длины сторон. Будем их искать!

Подсказка 2

Какие свойства вписанного четырёхугольника вы помните? Сделайте вывод об ∠АFE, пользуясь вписанностью ABEF. Отметьте всевозможные равные углы и обратите внимание на прямоугольные треугольники в нашей конструкции — что можно про них сказать?

Подсказка 3

Поработайте с подобием прямоугольных треугольников: зная отношение катетов и гипотенузу, длина которой дана в условии, Вы можете отыскать и сами эти катеты (Пифагор в помощь!). Останется лишь дважды применить формулу площади прямоугольного треугольника и задача убита!

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку четырёхугольник $ABEF$ вписан в окружность, угол $∠AFE$ прямой. Следовательно, треугольники $ECF$ , $CDF$ , $DAF$ подобны. Поскольку $CE = 4$ , $AD =12$ , то $3EF = DF$ . Из подобия $2 2 (CF) = EF ⋅DF = 3(EF)$ , откуда $√ - CF = 3EF$ . По теореме Пифагора для $ΔEF C$ , $EF =2$ , откуда $√ - CF =2 3$ и из теоремы Пифагора для $ΔCF D$ получаем $√ - CD = 4 3$ . Стало быть, площадь $√ - SABC = 24 3.$ Далее, из того же подобия следует, что $AF = 3CF$ . Стало быть, $1 1 SFEC = 3 ⋅4 ⋅SABC =$ $√- 2 3.$ Тогда площадь четырёхугольника $ABEF$ равна $√ - √ - √ - 24 3− 2 3= 22 3$ .

Ответ:

$√- 22 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#63661Максимум баллов за задание: 7

Произведение оснований трапеции равно 18. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё вписана окружность, а диагонали делят среднюю линию на три равные части.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите одну из диагоналей трапеции и среднюю линию. Будем работать с треугольником образованным диагональю трапеции, боковой стороной имеющей с этой диагональю общую вершину и одним из оснований: чем является часть средней линии трапеции заключенная внутри этого треугольника?

Подсказка 2

Мы знаем, что средняя линия треугольника составляет известную часть от средней линии трапеции (а значит, нам известно, в каком отношении делятся средние линии треугольников, на которые рассматриваемая нами диагональ делит трапецию), и она же равна половине основания. Длина средней линии трапеции также выражается через длины оснований — запишите соответствующее уравнение и сделайте вывод об отношении оснований трапеции! Теперь, зная ещё их произведение, Вы можете найти длины оснований трапеции.

Подсказка 3

Длины оснований мы знаем, но не хватает боковых сторон... Но не зря же нам сказано о существовании вписанной в эту трапецию окружности. Вспомните, какой факт нужно использовать, чтобы определить сумму боковых сторон. Теперь мы знаем всё, что нужно для нахождения периметра!

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим одну из диагоналей. Она делит трапецию на два треугольника, средние линии которых относятся как 2:1. Стало быть, одно из оснований трапеции в два раза больше другого. Поскольку их произведение равно 18, эти основания равны 6 и 3. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть периметр равен $2⋅(6+ 3) =18.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#64602Максимум баллов за задание: 7

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $AD :DB =BE :EA = 1:4$ . Найдите $AB$ , если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 18 , а тангенс угла $∠DCE$ равен $5∕3$ .

Источники: ДВИ - 2019, задача 5 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте пользоваться тем, на что нам намекает условие. Нам дан тангенс угла DCE, дана площадь – в общем, куча величин, в которых мы работаем с катетами. Введем обозначения: Пусть АВ=с, ВС=а, СА=b. Давайте запишем формулу площади, а затем подумаем, какие у нас есть способы получить какую-нибудь информацию из тангенса?

Подсказка 2

Давайте выразим угол DCE как разность углов АСЕ и ACD. А затем опустим перпендикуляры из точек D и E, чтобы записать тангенсы углов АСЕ и ACD через а и b. (Пользуйтесь параллельностью прямых!)

Подсказка 3

Теперь самое сложное – формула тангенса разности, а затем супер внимательно смотреть на полученное выражение и придумать, как из него получить нужные нам значения!

Показать ответ и решение

$PIC$

Условие явно намекает, что нужно посчитать, чем мы и займёмся. Пусть $AB = c,BC =a,AC =b ⇐= a2+b2 = c2,SABC = a2b$ . Чтобы добраться до нужного нам угла, выразим его через разность, для этого опустим перпендикуляры $DK,LE$ на катет $AC$ . Далее найдём углы $∠ACE, ∠ACD$

tg∠ACE = EL-= 4∕5BC-= 4a CL 1∕5AC b

Где все длины отрезков легко считаются из $KD ∥EL ∥BC$ . Аналогично $tg∠ACD = 1∕5a= a- 4∕5b 4b$ . Пришло время вспомнить тангенс разности

5 4ab − a4b 15ab 15⋅2SABC 3 = tg∠DCE = tg(∠ACE − ∠ACD )= 1+-4a⋅ a-= 4(a2+b2) =-4c2--- b 4b

Отсюда находим $∘ ----- c= 9⋅2⋅418 =9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#64601Максимум баллов за задание: 7

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . Пусть $M$ — середина отрезка $AD$ , а $N$ — произвольная точка отрезка $BC$ . Пусть $K$ — пересечение отрезков $CM$ и $DN$ , a $L$ — пересечение отрезков $MN$ и $AC$ . Найдите все возможные значения площади треугольника $DMK$ , если известно, что $AD :BC =3 :2$ , а площадь треугольника $ABL$ равна 4.

Источники: ДВИ - 2018, задача 5 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поищите подобные треугольники! Помните о том, что основания трапеции параллельны!) Когда найдете отношения сторон в подобных треугольниках, посмотрите, нет ли каких-то отношений, для получения которых мы можем воспользоваться равными отрезками из условия!

Подсказка 2

Если Вы строили рисунок “красиво“, то посмотрите на точки L и K. На что они намекают? Что хочется попробовать доказать для треугольников ACM и LCK? Воспользуйтесь равенствами из предыдущего пункта, чтобы доказать подобие!

Подсказка 3

А что можно сказать про прямые LK и AD? Воспользуйтесь этим, чтобы получить еще какие-нибудь отношения отрезков!

Подсказка 4

Теперь попробуйте пользоваться найденными отношениями отрезков и методом площадей, чтобы найти нужное отношение площадей!

Показать ответ и решение

$PIC$

Воспользуемся $△DMK ∼ △NCK$ , а также равенством $AM = MD$ , получим

CK--= NC-= NC- = CL- MK DM AM AL

Из равенство первого и последнего отношений получаем $△CLK ∼ △CAM$ (у них общий угол, а стороны делятся в одинаковом отношении). Иначе говоря, получаем $LK ∥ AD$ . Поэтому прямая $LK$ делит все отрезки между двумя основаниями в одинаковом отношении, откуда

SABL = AL-⋅SABC = DK ⋅SABC = 4 AC DN

Аналогично

DK- DK- 3∕2- 3 DK- 3 SDKM = DN SMDN = DN ⋅ 2 SABC = 4 ⋅DN SABC = 4 ⋅4= 3

Здесь использовано $SABC- BC- -2- SMDN = MD = 3∕2$ , что верно, поскольку в каждом из треугольников высота будет равна высоте трапеции.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#64471Максимум баллов за задание: 7

Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$ . Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$ . Прямая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$ . Найдите площадь четырёхугольника $T ACB$ , если известно, что $CB = BT = 3$ , а радиусы окружностей относятся как $5:8.$

Источники: ДВИ - 2016, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим через Х и У точки пересечения внутренней окружности с отрезками АТ и ВТ. Вспомните про лемму Архимеда. Что можно сказать про отрезки АВ и ХУ?

Подсказка 2

Да, они параллельны! Вспомните о том, какие у нас есть вообще теоремы, в которых мы говорим об отношениях отрезков и которые похожи на эту задачу. В первую очередь, мы умеем работать с подобными треугольниками и во-вторых, у нас есть теорема о касательной и секущей! Воспользуйтесь ими, чтобы найти максимум отношений отрезков!

Подсказка 3

Посмотрите на отношения AS/BS и AT/BT. Какую теорему напоминает?

Подсказка 4

Верно, это обратная теорема о биссектрисе! Отметьте все равные углы, которые найдете и поищите параллельные прямые!

Подсказка 5

Посмотрите внимательно на четырехугольник ТАВС. Что можно о нем сказать? Воспользуйтесь всем, что узнали о четырехугольниках, о подобных треугольниках и попробуйте посчитать те величины, которые считаются!

Подсказка 6

Помните, если у нас есть трапеция, для вычисления ее площади мы можем найти высоту и среднюю линию и посчитать площадь, зная уже эти величины!

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим через $X$ и $Y$ точки пересечения внутренней окружности с отрезками $AT$ и $BT$ соответственно.

Проведём общую касательную окружностей в точке $T.$ Тогда угол между касательной и хордой большей окружности $BT$ равен углу $BAT$ и тот же угол между касательной и хордой $TY$ меньшей окружности равен углу $YTX.$

∠BAT = ∠YXT, ∠BTA = ∠YTX =⇒

△BAT ∼ △Y XT =⇒ AT-= AX- BT BY

Применяя теорему о касательной и секущей, получаем

AS2-= AX-⋅AT-= AT2, BS2 BY ⋅BT BT2

то есть,

AS- AT- BS = BT,

что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что $∠ATS = ∠BTS$ . Но из равенства $CB = BT$ следует, что

∠CT B =∠T CB,

стало быть, $AT∥CB$ , то есть четырёхугольник $TACB$ - трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит, $AC = CB = BT =3$ .

Далее, треугольники $ATS$ и $BCS$ подобны с коэффициентом подобия $T S∕CS = = 5∕(8− 5)=$ 5/3. Следовательно, $AT = 5$ , а средняя линия трапеции $TACB$ равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим катетом 1 , то есть равна $√ - 2 2$ . Таким образом, искомая площадь равна $√- √ - 4⋅2 2 =8 2$ .

Ответ:

$8√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#64470Максимум баллов за задание: 7

Окружности $Ω 1$ и $Ω 2$ с центрами в точках $O 1$ и $O 2$ касаются внешним образом в точке $A$ . Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $Ω1$ и $Ω2$ соответственно в точках $B1$ и $B2$ . Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A$ , пересекает отрезок $B1B2$ в точке $C$ . Прямая, делящая угол $ACO2$ пополам, пересекает прямые $O1B1,O1O2,O2B2$ в точках $D1,L,D2$ соответственно. Найдите отношение $LD2 :O2D2$ , если известно, что $CD1 = CO1.$

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь тем, что мы знаем про отрезки касательных, и затем поищите равные треугольники. Что можно сказать про угол О₁СО₂?

Подсказка 2

Поотмечайте равные углы, поищите равнобедренные треугольники и запишите равенства углов уже в них. В этой задаче будет удобно ввести две переменные для каких-нибудь углов и выразить через них все остальные углы.

Подсказка 3

Посмотрите внимательно на углы D₁LO₁ LCO₁. Если задача все еще не решается, поищите треугольник, подобный треугольнику О₂LD₂.

Показать ответ и решение

$PIC$

Отрезки $CB1,CA$ и $CB2$ равны как отрезки касательных. Следовательно, $△O1CB1 =$ $△O1CA,△O2CB2 =△O2CA$ . Значит, $CO1$ и $CO2$ — биссектрисы углов $ACB1$ и $ACB2$ соответственно, так что образуют прямой угол. Стало быть, $∠LCO1 = 90∘− ∠LCO2 = 90∘− ∠LCA =∠CLA$ , то есть

∠D1LO1 = ∠LCO1.

Пользуясь этим соотношением, получаем:

CD1 =CO1 ⇐⇒ ∠CD1O1 = ∠CO1D1 ⇐⇒

⇔ ∠D1LO1 = ∠LCO1 =∠CD1O1 + ∠CO1D1 = 2∠CO1D1 = ∠D1O1L ⇐⇒ ⇔ D1L= D1O1 ⇐⇒ LD2 = O2D2.

Последнее следует из подобия треугольников $O1D1L$ и $D2O2L$ .

Ответ:

$1 :1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#64469Максимум баллов за задание: 7

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность радиуса $R$ и описана около окружности радиуса $r$ . Найдите $r$ , если $R= 12$ , а косинус угла между диагональю $AC$ и основанием $AD$ равен $3∕4.$

Источники: ДВИ - 2013, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие факты про стороны трапеции нам сразу дают условия на вписанность и описанность?

Подсказка 2

А где в равнобедренной трапеции мы вообще можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей)?

Подсказка 3

Конечно диаметр вписанной окружности в точности равен высоте, а радиус описанной можем найти в теореме синусов для одного из вписанных треугольников. Подумайте, для какого треугольника ее лучше применить, опираясь на условия задачи и что получится найти из этого. Длины какого отрезка нам не хватает, чтобы вычислить радиус вписанной окружности?

Подсказка 4

Нас интересует либо длина диагонали, либо длина второго катета в прямоугольном треугольнике! Определите, на какие отрезки разбивается большее из оснований высотой и подумайте, как нам помогает теперь описанность трапеции, если длина боковой стороны уже найдена.

Показать ответ и решение

Первое решение.

∘ ---(-)2- √- sin∠CAD = 1− 3 = -7- 4 4

Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная. По теореме синусов $AB = CD =2R sin∠CAD = 6√7.$ Высота $CH$ , опущенная из вершины $C$ на большее основание $AD,$ делит его на больший отрезок $(AH)$ , который равен полусумме оснований, и меньший $(HD )$ , равный полуразности оснований. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

√- a+ b= 2⋅6 7

√ - 1 1 1a+-b --7 r =2 h= 2AH tg ∠CAD = 2 2 ⋅ 3 = 7

$PIC$

Второе решение. (по сути то же самое, но в общих обозначениях вместо промежуточных вычислений)

Из того, что трапеция вписана, следует, что она равнобокая. Положим $AB =CD =a,BC = b,AD = c.$ Не ограничивая общности, можно считать, что $c≥ b.$ Из того, что трапеция описана, следует, что $b+ c= 2a.$ Опустим перпендикуляр $CH$ на сторону $AD$ . Toгда $CH = 2r,AH = c2 + b2 = a$ (поскольку точки касания окружности делят основания пополам). Следовательно, обозначив $φ =∠CAD,$ получаем:

tgφ= 2r a

C другой стороны, по теореме синусов, примененной к треугольнику $CAD.$

sinφ= -a- 2R

Перемножая, находим:

r- -1-- R = cosφ − cosφ

Подставляя $R =12,cosφ =3∕4,$ получаем $r= 7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#64468Максимум баллов за задание: 7

Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$ соответственно и пересекает сторону $AC$ в точках $F,G$ (точка $F$ лежит между точками $A$ и $G)$ . Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AF = 5,GC = 2,AD :DB =2 :1$ и $BE = EC.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу запишем условие: BD=BE=EC=x, AD=2x, AF=5, CG=2. Практически все отрезки найдены, а какой так и хочется найти?

Подсказка 2

Найдем отрезок GF! Это отрезок секущей, лежащей внутри окружности. В какой теореме фигурирует такой отрезок?

Подсказка 3

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей! Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Обозначив GF=t, без труда найдем t и x. Смотрите, t можно выразить аж двумя способами!

Подсказка 4

Итак, t=3, x=sqrt(10). Супер, мы знаем все стороны треугольника! Теперь надо как-то провести радиус…что если опустить радиус из I — центра вписанной окружности на AB. Как можно найти радиус в получившемся треугольнике?

Подсказка 5

Хочется найти тангенс половины угла B, значит нам нужны синус и косинус половины угла B. Как это можно сделать?

Подсказка 6

Воспользуйтесь формулой понижения степени — там как раз используется половина угла! Но как найти косинус угла B?…

Подсказка 7

Мы ведь знаем все стороны — воспользуемся теоремой косинусов ;)

Показать ответ и решение

Пусть $EC = EB = BD =x$ (пользуемся равенством касательных), а $GF = t.$

$PIC$

По теореме о касательной и секущей $2 2 x =EC = CG ⋅CF = 2(2 +t)$ и $2 2 4x = AD = AF ⋅AG = 5(5 +t)$ . Из полученной системы легко найти $t= 3$ и $√-- x= 10$ . Далее по теореме косинусов для $ABC$ :

102 = 9x2+4x2− 2⋅2x⋅3x⋅cos∠B

10= 13− 12cos∠B

cos∠B = 1= 2cos2 ∠B-− 1 4 2

∠B sin∠B∕2 ∘3-∕8 ∘ --- tg-2-= tg∠IBD = cos∠B∕2 =∘5-∕8 = 3∕5

ID =BD ⋅tg ∠B-= xtg ∠B-= √6 2 2

Ответ:

$√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#64852Максимум баллов за задание: 7

Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$ . Найдите длину отрезка $CK$ , если $AB = √3$ и известно, что вокруг четырехугольника $KLCM$ можно описать окружность.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Назовём третью медиану CN. Заметим, что LM — средняя линия △АВС. Поотмечайте вытекающие из этого равные углы. Также отметьте доступные Вам равенства во вписанном четырёхугольнике KLСМ.

Подсказка 2

Удаётся ли заметить что-нибудь интересное? Например, подобные треугольники. Рассмотрите внимательно △AKN и △ANC, сколько у них пар соответственно равных углов?

Подсказка 3

Запишите отношения соответственных сторон в подобных треугольниках. Какие-то стороны Вы знаете, в других Вам известно лишь отношение — Вы ведь знаете, в каком соотношении медианы делятся точкой пересечения. Осталось лишь найти из получившегося равенства искомый отрезок!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть оставшаяся медиана $CK$ пересекает сторону $AB$ в точке $N,$ тогда $CK :KN = 2:1.$ Отметим равные углы, используя параллельность $LM ∥AB$ (средняя линия) и вписанность $KLCM$ .

$PIC$

Далее воспользуемся подобием $△ANK ∼ △CNA$ (у них пара равных углов по две дужки и один общий):

NK- = AN- AN NC

√------- ∘ CK---3CK-- √3- AN = NK ⋅NC = 2 ⋅ 2 = 2 CK

Так как $AB- √3 AN = 2 = 2 ,$ то $CK = 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $2$ точка $K$ переходит в точку $P,$ тогда $CK = KP,$ а по свойству центроида $CK =2KN,$ где $N$ — середина $AB.$

$PIC$

Описанная окружность треугольника $ABC$ переходит в описанную окружность треугольника $ABC,$ по теореме о пересекающихся хордах в получившейся окружности

AN ⋅NB = CN ⋅NP

√- √- -3-⋅-3= 3CK ⋅ 1CK 2 2 2 2

CK = 1

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#64853Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в полтора раза длиннее основания $BC$ , а длины боковых сторон $AB$ и $CD$ равны. На стороне $BC$ взята такая точка $K$ , что $BK = 2KC.$ Прямые $AK$ и $CD$ пересекаются в точке $E$ , а прямые $DK$ и $AB$ — в точке $F$ . Найдите величину отношения $BF :CE.$

Источники: Вступительные на факультет гос.управления МГУ, 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте сторону ВС, например, как а и выразите через неё отрезки ВК, КС и AD. Также пусть b будет боковая сторона. Параллельность оснований трапеции даёт нам множество подобных треугольников, попробуйте выразить в них искомые стороны через b!

Подсказка 2

Может возникнуть следующее затруднение: как при известном соотношении BF/AF, например, перейти к BF/AB: для этого распишите AF как сумму AB + BF — это поможет Вам связать BF с b. Аналогично можно поступить и с CE. Осталось лишь применить несложную арифметику дробей, и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Пусть $BC = 6a,$ $AD = 9a,$ $BK = 4a,$ $KC = 2a.$ Пусть также $AB = CD = b.$

$PIC$

Из параллельности следуют подобия $△BF K ∼ △AF D$ и $△KEC ∼ △AED.$

Воспользуемся подобием $△BF K ∼ △AF D :$

BK-- 4 BF- --BF-- AD = 9 = AF = BF + b 4BF + 4b = 9BF 4 BF = 5b

Воспользуемся подобием $△KEC ∼ △AED :$

CK 2 EC EC AD- = 9 = ED-= EC-+-b 2EC + 2b = 9EC 2 EC = 7b

Из полученных соотношений

4 BF :EC = 52-= 14= 2,8 7 5

Ответ:

$14 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#64876Максимум баллов за задание: 7

В 4-угольник $ABCD$ можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Каждая его диагональ делит его площадь в отношении $2:3$ . Найдите тангенсы всех углов 4 -угольника $ABCD$ и радиус окружности, описанной около 4-угольника, если наибольшая сторона его имеет длину 24 .

Источники: Вступительные на факультет биоинженерии МГУ, 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть AD — наибольшая сторона нашего четырёхугольника. Какой вывод о соотношении сторон можно сделать из условия о том, что в четырёхугольник можно вписать окружность? Запишите соответствующее равенство. А какой вывод можно сделать из того, что сам этот четырёхугольник вписан в окружность?

Подсказка 2

Мы знаем интересный факт о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника, а ещё мы знаем, что синусы таких углов равны. Запишите площади треугольников △ABC и △АCD через полупроизведение сторон и синусы углов ∠В и ∠D, соответственно. Тогда что можно сказать об отношении этих площадей?

Подсказка 3

Аналогично выразите через стороны отношение площадей △ABD и △BCD. Теперь перед Вами система: три уравнения с тремя неизвестными (ведь длину AD мы уже знаем!). Сумеете её решить?

Подсказка 4

Итак, мы нашли все стороны четырёхугольника! Какие выводы о нём теперь можно сделать? Внимательная работа с равенством сторон, стягиваемых ими хорд и всяких уголочков в описанной окружности поможет нам обнаружить равнобедренную трапецию!

Подсказка 5

Искать углы в равнобедренной трапеции с известными сторонами мы умеем! (Проведите для этого две высоты из концов меньшего основания, а дальше Вам поможет работа с прямоугольными треугольниками!). Осталось поработать с описанной окружностью. Для этого достаточно рассмотреть, к примеру, △ACD: найдите в нём АС при помощи теоремы косинусов и примените теорему синусов.

Показать ответ и решение

$PIC$

Из вписанности $∠A + ∠C =180∘,∠B + ∠D =180∘$ . Из описанности $AB +CD = AD + BC$ . Пусть $AD = 24$ — наибольшая сторона, запишем соотношения на площади, будем использовать формулу через синус угла и две прилежащие стороны.

(| 2AB ⋅AD = 3BC ⋅CD { 2AB ⋅AD ⋅sin∠A= 3BC ⋅CD ⋅sin∠C |||{ 2AD ⋅CD = 3BC ⋅AB 2AD ⋅CD ⋅sin∠D =3BC ⋅AB ⋅sin∠B =⇒ | AB + CD = AD +BC |||( AD = 24

При переходе мы поделили на равные синусы (которые, конечно, не равны нулю). Далее поделим первое уравнение на второе

AB- CD- CD = AB ⇐⇒ AB = CD

Далее получаем $2AD = 3BC,$ откуда $BC =16.$ Далее

2AB =2CD = AD +BC = 40⇐ ⇒ AB =CD = 20.

Равенство двух сторон из четырёх даёт нам равнобедренную трапецию — равны будут накрест лежащие углы, поэтому достаточно найти тангенсы только двух смежных углов, да и те будут противоположны. Опустим перпендикуляр $BH$ на основание $AD$ , получим

AD-−-BC- AH = 2 = 4,DH = 20

Отсюда

∘ --------- √- BH = AB2− AH2 = 8 6

BH- √ - tgBAH = AH = 2 6

Наконец,

∘---------- BD = BH2 + HD2 = 28

BH 2√6- sinBAH = AB- = -5-,

откуда

R = ---BD----= -28√-= √35- 2sin∠BAH 2⋅ 256 6

Ответ:

$2√6,−2√6,−2√6,2√6;$

$3√5 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#64850Максимум баллов за задание: 7

Центр описанной около треугольника окружности лежит на одной из сторон этого треугольника, а длины сторон этого треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти тангенс наименьшего угла этого треугольника.

Источники: Вступительные на факультет биоинженерии МГУ, 2009

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У какого треугольника центр описанной окружности лежит на стороне?) Введите обозначения: пусть меньшая сторона этого треугольника равна а, знаменатель прогрессии равен q. Выразите второй катет и гипотенузу этого треугольника через a и q.

Подсказка 2

Что мы знаем о соотношениях между длинами сторон и величинами углов в треугольнике? Против какой из сторон лежит наименьший угол? Выразите его тангенс через наши переменные.

Подсказка 3

Осталось записать теорему Пифагора и решить биквадратное уравнение! Сделайте это и задачка будет убита :)

Показать ответ и решение

Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является диаметром, тогда угол треугольника, который опирается на диаметр, является прямым. Пусть стороны $a≤ b< c$ , по условию образуется геометрическая прогрессия $2 a= x,b=xq,c= xq.$

$PIC$

По теореме Пифагора

a2+ b2 =c2

x2+ x2q2 =x2q4

1 +q2 = q4

Получаем $q2 = 1+√5 2$ (подходит только положительный корень), откуда $q = ∘-1+√5-. 2$ Наименьший угол лежит напротив стороны $a$ и его тангенс равен

a 1 ∘ --2--- b = q = 1+-√5

Ответ:

$∘--2√-- 1+ 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#64851Максимум баллов за задание: 7

Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведенной к основанию, в отношении 4 : 3, считая от вершины. Найти площадь треугольника.

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2009, 2 смена

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Окружность касается боковых сторон треугольника, получается, что она вписана в его угол. Что можно сказать о положении центра этой окружности — на какой линии он будет лежать?

Подсказка 2

Рассмотрим треугольник △ACР (пусть Р - точка касания окружности со стороной СВ р/б треугольника △AВС с основанием АВ, О – центр нашей окружности, а Т – точка пересечения СО и АР) Нам известно, в каком отношении биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону. Какое свойство поможет нам узнать отношение двух сторон такого треугольника?) Поскольку АС=ВС, мы можем понять, в каком отношении точка Р делит сторону ВС.

Подсказка 3

Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной! Рассмотрите треугольник △СОВ, образованный медианой, половинкой основания и боковой стороной исходного треугольника. Он прямоугольный, с известной высотой и известным отношением отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу — этих данных достаточно, чтобы узнать все его стороны (работа с подобием поможет в этом!)

Подсказка 4

Теперь мы знаем высоту и половинку основания р/б треугольника. Несложные вычисления доведут нас до ответа :)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть это треугольник $ABC,AC = BC$ , $O$ — середина основания, $P,Q$ — точки касания с $BC,AC$ , $AT :PT = 4:3,T ∈ OC.$

Поскольку $OC$ является биссектрисой первоначального треугольника, то она же будет биссектрисой $△ACP$ , откуда $AT :TP = AC :P C = 4:3$ , тогда $CP = 34AC = 34BC,P B = 14BC$ . Из подобия $△CP O ∼△COB$ имеем

√ - CP- = CO-=⇒ CO = √CP-⋅BC-=--3BC =⇒ AB = BC =AC CO BC 2

Наконец, из подобия $△PBO ∼ △P OC$ получаем

OP- CP- √------- √ - -8- P B = OP =⇒ OP = 2= PB ⋅CP = 3BC ∕4⇐⇒ BC = √ 3

В итоге площадь равна

√ - 2 --3A4B-= √16 3

Ответ:

$√16 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#90850Максимум баллов за задание: 7

Точки $A,B$ и $C$ лежат на окружности радиуса 2 с центром $O$ , а точка $K−$ на прямой, касающейся этой окружности в точке $B$ , причем $∘ ∠AKC = 46$ , а длины отрезков $AK,BK, CK$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол $AKO$ и расстояние между точками $A$ и $C.$ Какой из углов больше: $ACK$ или $AOK?$

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2007, задача 4 (см. www.mathnet.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала разберёмся аккуратно с чертежом! Из условия мы сразу можем понять: какой из отрезков АК, ВК, СК больший, а какой – меньший. Попробуйте из этого установить, где мы имеем дело с секущей, а где – с касательной? Достройте точки пересечения проводимых прямых с окружностью – они нам пригодятся!

Подсказка 2

Как можно использовать данную нам прогрессию из длин? Может быть какие-то отрезочки удачно выражаются друг через друга?) А можно ли эти же отрезки связать друг с другом иначе – какие теоремы о касательных и секущих нам известны?

Подсказка 3

Итак, мы видим геометрическую прогрессию, попробуйте выразить ВК через два других отрезка. Свойство секущих, проведённых из одной точки, помогает нам увидеть на картине равнобедренный треугольник! Запишите сразу его уголочки :)

Подсказка 4

Симметрия поможет нам понять, на какой прямой лежит центр окружности. Один из искомых уголочков у нас в кармане!

Подсказка 5

Какая теорема хорошо ищет длины сторон в треугольнике при известном радиусе описанной окружности?) Найдите треугольник со стороной АС и примените её. Тригонометрии в ответе не стоит бояться :)

Подсказка 6

Обнаруженная ранее биссектриса, а также точное применение свойств вписанных и центральных углов поможет нам в ответе на последний вопрос задачи.

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что $KA$ и $KC$ не могут быть касательными, поскольку их длина отличается от длины $KB$ , тогда они обе секущие, причём расположение точек именно такое, поскольку прогрессия возрастает.

$PIC$

По свойствам отрезков секущей

BK2 = AK ⋅A1K =CK ⋅C1K

AK = C1K,CK = A1K

То есть $KCA1$ — равнобедренный и в силу симметрии центр окружности лежит на его биссектрисе, откуда

1 ∠AKO = 2 ⋅46∘ =23∘

Из той же равнобедренности

180∘-− 46∘ ∘ ∠AA1C = 2 = 67,

откуда по теореме синусов:

∘ AC =2R ⋅sin∠AA1C = 4sin67

Наконец, в силу симметрии $AT = C1T =∠AOK = 1AC1 = ∠ACK 2$ (имеются в виду дуги).

Ответ:

$23∘,$

$∘ 4sin67,$

углы $ACK$ и $AOK$ равны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#70313Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты пересекаются в точке $H$ , а медианы в точке $M$ . Биссектриса угла $A$ проходит через середину отрезка $MH$ . Найти площадь треугольника $ABC$ , если $BC = 2$ , а разность углов $B$ и $C$ равна $∘ 30$ .

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2004

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На рисунке есть отрезок, соединяющий ортоцентр с точкой пересечения медиан, а также деление такого отрезка на 2. На какой сюжет это намекает?

Подсказка 2

Отметим точку O — центр описанной окружности ABC. Что можно провести, чтобы использовать деление отрезка MH пополам? Чем является HM?

Подсказка 3

HM — прямая Эйлера, значит O лежит на ней! А что если опустить перпендикуляр из O на BC?

Подсказка 4

Треугольники AHT и LOT подобны, аналогично подобны и треугольники AHM и KOM. Теперь мы можем записать равенства, следующие из подобия. Но как использовать условие на разницу величин углов? К тому же, нам нужно найти площадь, то есть стороны или углы.

Подсказка 5

В этом нам может помочь теорема синусов! С помощью нее мы можем выразить AB и AC через некоторый угол ;)

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр описанной около $△ABC$ окружности. Проведём серединный перпендикуляр $OK$ к стороне $BC$ . Как известно, биссектриса угла $A$ и продолжение $OK$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC,$ пусть в точке $L$ . А также знаем, что точки $H, M, O$ лежат на одной прямой и $HM :MO = 2:1$ (Прямая Эйлера). В силу того, что $HT = TM$ , получаем $HT = TM = MO$ , где $T$ — точка пересечение биссектрисы угла $A$ и $HM.$

$PIC$

$△AHT ∼ △LOT$ по двум углам $=⇒ 2AH =OL;$

$△AHM ∼ △KOM$ по двум углам $=⇒ AH = 2OK;$

Следовательно, если $AH = 2x$ , то

OK =x, KL = 3x =⇒ OB =OL = 4x =⇒ ∠BOK = ∠BAC = arccos 1 4

Если $∠ACB = γ,$ то

π π 1 5π arccos14 ∠ABC = γ+ 6 =⇒ 2γ+ 6 =π − arccos4, γ = 12 −-2--

По теореме синусов в треугольнике $ABC :$

AB AC BC 2 8 sin-γ = sin(γ+-π) = sin(arccos-1) =-(-----√15) = √15; 6 4 sin arcsin 4

Откуда

AB = √8-sinγ 15

AC = √8-sin (γ+ π) 15 6

Тогда

1 1 8 8 ( π) √15- S△ABC = 2 ⋅AB ⋅AC ⋅sin∠BAC = 2 ⋅√15sinγ⋅√15 sin γ+ 6 ⋅-4 =

= √4--⋅2sinγsin(γ + π)= √4- (cosπ +cos(2γ+ π))= 15 6 15 6 6

4 ( √3 1) 4 ( √3 1) 2√3 +1 = √15 2-− cos(π− arccos 4) = √15 -2-+ 4 = --√15-

Ответ:

$2√3-+1 √15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#99393Максимум баллов за задание: 7

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон в точках $K,N$ и $M.$ Известно, что в треугольнике $KNM$ угол $M$ равен $∘ 75,$ произведение всех сторон равно $√ - 9+6 3,$ а вершина $K$ делит отрезок $AC$ пополам. Найдите длины сторон треугольника $ABC.$

Источники: Вступительные в МГУ - 2004 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит задуматься о том, что вообще может нам дать условие про вписанную окружность, как мы можем воспользоваться тем, что стороны треугольника являются касательными к ней?

Подсказка 2

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Запишем этот факт для всех касательных и дополнительно учтем условие AK=KC. Какой вывод можем сделать?

Подсказка 3

Треугольник АВС является равнобедренным. Отсюда же понимаем, что N и M делят боковые стороны в равных отношениях

Подсказка 4

В итоге имеем, что AC || NM. Также, используя факт об угле между хордой и касательной, мы получаем большой простор для счета углов!

Подсказка 5

Теперь надо воспользоваться условием на произведение сторон △KMN. Стандартный подход: выразить все стороны через одну неизвестную. Удобно в качестве нее взять радиус описанной окружности около KMN.

Подсказка 6

Мы знаем все углы треугольника, тогда можем выразить все стороны с помощью теоремы синусов!

Подсказка 7

Теперь нужно стороны △АВС выразить через стороны △KMN, которые мы знаем. В таких ситуациях очень часто спасает подобие треугольников!

Подсказка 8

Из подобия △ANK и △KMN можем найти AK, а из подобия △ABC и △KMN найдем NM (не забывайте про равные отрезки касательных!)

Показать ответ и решение

Так как $K,M,N$ — точки касания вписанной окружностью сторон треугольника $ABC,$ то $BM =BN, AN = AK,CM = CK.$ Из $AK = CK$ следует, что $AB = BC,$ а в треугольнике $∘ ∘ KMN − ∠N = ∠M = 75 ,∠K = 30 .$

$PIC$

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность является описанной около треугольника $KNM.$ Пусть $R$ — ее радиус, тогда

MN =2R sin30∘ = R,MK = NK = 2Rsin75∘ = √R-(√3-+1) 2

Вычисляя произведение $MN ⋅MK ⋅NK,$ находим, что

√- √ - √3(√3+ 1) R= 3,MN = 3,MK =NK = ---√2----

Угол $ANK,$ как угол между касательной и хордой, равен углу $NMK,$ так что $∠ANK = ∠AKN = 75∘,$ поэтому треугольники $ANK$ и $KNM$ подобны. Следовательно,

√- -AK = KN-, и AK = 2 3+ 3 KN NM

значит, $AC = 2AK = 6+ 4√3.$ Наконец, из подобия равнобедренных треугольников $ABC$ и $NBM$ вытекает равенство

AN-+BN-- AC-- BN = NM , откуда BN = 1

Таким образом, $√- AB = BC =AN + BN = 2 3+ 4.$

Ответ:

$2√3 +4,2√3+ 4,4√3 +6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#113126Максимум баллов за задание: 7

Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, стороны которого последовательно равны $1− 7a,7− 6a,5− 3a$ , $14a +5?$ Найти все значения $a,$ при которых она достигается.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень понятно, как искать площадь четырёхугольника, про который мы практически ничего не знаем. Давайте попробуем разбить нашу фигуру на фигуры поменьше и попроще.

Подсказка 2

Проведём диагональ и получим два треугольника, у каждого из них мы знаем по две стороны. Обозначим углы между этими сторонами как α и β и посчитаем площадь. Как теперь можно оценить полученное выражение?

Подсказка 3

Верно, мы знаем, что синус не больше единицы! Запишем неравенство и найдём максимальное значение площади. А когда достигается такое значение?

Подсказка 4

Правильно, когда углы α и β прямые! Но тогда фигуры, которые мы получили — это два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Запишите для них теорему Пифагора и приравняйте гипотенузы, чтобы найти а. Не забудьте проверить, что при найденных значениях все стороны исходного четырёхугольника положительны.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $S$ — площадь данного четырёхугольника, $α$ — угол между соседними сторонами, равными $1− 7a$ и $7− 6a,$ а $β$ — угол между соседними сторонами, равными $5− 3a$ и $14a +5.$ Тогда

S = 1⋅(1− 7a)⋅(7− 6a)sinα + 1⋅(5 − 3a)⋅(14a+ 5)sinβ ≤ (1− 7a)⋅(7− 6a)+ (5− 3a)⋅(14a+-5)= 2 2 2 2

= 7−-49a− 6a+-42a2+ 70a-− 42a2+25−-15a= 32= 16 2 2 2

Оценка достигается при $sin α= sinβ = 1,$ ведь иначе знак неравенства изменится на строгий и $S < 16.$ Итак, максимальную площадь имеет четырёхугольник, составленный при $a= 0$ из двух прямоугольных треугольников с катетами $1− 7a,$ $7− 6a$ и $5− 3a,14a+ 5$ с общей гипотенузой, поэтому

2 2 2 2 (1− 7a) +(7− 6a)= (5− 3a) + (14a+ 5)

2 2 2 2 1+ 49 − 14a− 84a+ 49a +36a = 25+25− 30a+140a+ 9a + 196a

0 =208a+ 120a2

8a(26+15a)= 0

Если $26+15a= 0,$ то одна из сторон четырёхугольника окажется отрицательной

14a +5= 15a− a+5 =− 26 + 2615-+5 =− 21 + 2165 <0

Этого быть не может.

При $a= 0$ действительно, поскольку $12+ 72 = 52+52,$ условию задачи удовлетворяет четырёхугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 7 и 5, 5 с общей гипотенузой, равной $-- √50.$

$PIC$

Ответ:

16 при $a= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#89912Максимум баллов за задание: 7

Стороны $KN$ и $LM$ трапеции $KLMN$ параллельны, причем $KN = 3,$ а $∠M = 120∘.$ Прямые $LM$ и $MN$ являются касательными к окружности, описанной около треугольника $KLN.$ Найдите площадь треугольника $KLN.$

Показать ответ и решение

$PIC$

1. Опустим высоты трапеции $MH1$ и $LH2.$

2. Пусть $NM = ML = x$ ( $NM = ML$ равны как отрезки касательных из точки $M$ ). Заметим, что $△MLN$ – равнобедренный, то есть $∠MLN = ∠MNL.$

3. $∠MLN = ∠LKN$ (угол между касательной и секущей и вписанный угол равны половине дуги $NL$ ).

4. $∠MLN = ∠LNK$ (равны как накрест лежащие при параллельных прямых).

5. То есть $∠LNK =∠MLN = ∠LKN$ , откуда $△NLK$ – тоже равнобедренный. В таком случае высота $LH2$ еще и медиана, и $NH2 = H2K = 1,5.$

6. Поскольку $ML ∥KN,$ $MH1 ⊥ KN,$ $LH2 ⊥ KN,$ то $MLH2H1$ – прямоугольник, где $ML = H1H2$ и $MH1 = LH2.$

7. Заметим, что раз $H1H2 = x,$ а $NH2 = 1,5,$ тогда $NH1 = 1,5 − x.$

8. Поскольку сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180∘,$ то $∠MNK = 180∘− 120∘ =60∘.$

9. В прямоугольном $△MNH1 :$

cos∠MNH1 = cos60∘ = NH1-= 1,5−-x = 1, NM x 2

x= 1.

То есть $NM =1 = ML = H1H2,NH1 = 0,5.$

$PIC$

10. По теореме Пифагора для $△MNH1 :$

2 2 2 NM = NH 1 + MH 1,

∘----------- √3- MH1 = NM2 − NH21 =-2-= LH2.

11. По формуле площади треугольника через высоту и основание имеем:

√ - 1 1 √3- 3--3 SLKN = 2 ⋅NK ⋅LH2 = 2 ⋅3⋅ 2 = 4 .

Ответ:

$√ - 3--3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#90120Максимум баллов за задание: 7

Диагональ $AC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ является диаметром описанной около него окружности и пересекается с диагональю $BD$ в точке $E.$ Найти отношение площадей треугольников $ABC$ и $ACD,$ если $AE :EC = 2:1$ и $∘ ∠BAC = 30 .$