Стереометрия на ДВИ

Для начала заметим, что центр вписанной сферы — это точка пересечения всех высот тетраэдра. Проведём эти высоты и назовём их Точки и в свою очередь, будут являться точками касания и представлять собой точки пересечения высот правильных треугольников, являющихся гранями тетраэдра. Также для всех этих граней сразу найдем длину отрезка, являющегося медианой, высотой и биссектрисой:

Теперь рассмотрим плоскость из условия. Видно, что она будет представлять из себя параллелограмм, который назовём где – отрезок, параллельный ребру на грани а — отрезок, параллельный ребру на грани Более того, несложно заметить, что этот параллелограмм является прямоугольником, так как перпендикулярно — это доказывается, если рассмотреть проекцию на основание тетраэдра и заметить, что эта проекция перпендикулярна (основание и высота треугольника ).

Далее нам необходимо найти радиус вписанной сферы. Для этого воспользуемся тем, что ее центр является точкой пересечения высот тетраэдра, которые в силу его правильности являются и медианами. А так как в треугольной пирамиде медианы делятся точкой пересечения в отношении то получаем, что радиус сферы равен высоты тетраэдра. Воспользуемся формулой для высоты правильного тетраэдра и получим, что она равна:

То есть радиус вписанной сферы:

Теперь заметим, что в силу построения наше сечение касается сферы в точке, лежащей на прямой, соединяющей середины и Пусть середина — а точка касания — При этом эта же прямая проходит через центр сферы. Обозначим центр сферы за и проведем на грани высоту которая будет являться также биссектрисой и медианой. После этого рассмотрим прямоугольный треугольник

Величину мы знаем — это радиус найденной сферы. Чтобы найти заметим, что — точка пересечения медиан треугольника а как раз и является этой медианой. Тогда:

Отсюда можем найти

Отсюда получается, что

Теперь найдем

Обозначим на прямых и точки пересечения с нашим сечением: и Далее из подобия треугольников и получаем, что:

Из этого же подобия:

Аналогично из подобия треугольников и получаем, что:

Тогда можем найти площадь сечения как площадь прямоугольника