Стереометрия на ДВИ

1. Нахождение высоты пирамиды

Пусть дана правильная треугольная пирамида с вершиной и центром основания Центр вписанной сферы лежит на её высоте Пусть — середина ребра основания Тогда — апофема пирамиды. Рассмотрим осевое сечение которое является равнобедренным треугольником. В этом сечении круг, являющийся сечением вписанной сферы, вписан в угол Этот угол образован апофемой пирамиды и радиусом вписанной в основание окружности

Пусть — радиус вписанной сферы, — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, и — двугранный угол при ребре основания. Они связаны соотношением

Подставим известные значения:

Отсюда находим :

Теперь найдем по формуле двойного угла:

Вычислим :

Подставим в формулу для :

Высота пирамиды связана с и углом через тот же треугольник в сечении:

2. Нахождение радиуса описанной сферы

Центр описанной сферы также лежит на высоте пирамиды. Радиус описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле

где — радиус окружности, описанной около основания.

Основание пирамиды — правильный треугольник. Для правильного треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности :

Мы получили, что Это означает, что центр описанной сферы совпадает с центром основания пирамиды. В этом случае радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около основания.

Проверим это, подставив в общую формулу для :

Итак,

Проведём прямую в плоскости перпендикулярно пусть точки и являются точками пересечения этой прямой с отрезками и соответственно.

Заметим, что проекция на плоскость перпендикулярна следовательно, по ТТП Проведем через точки и прямые, параллельные точки пересечения этих прямых со сторонами квадратов и соответственно принадлежат сечению. Если провести через точку прямую, параллельную то точки пересечения этой прямой с и также будут принадлежать сечению, соединив полученные 6 точек, мы построим наше сечение. Пусть — построенное сечение, и

Пусть — проекция точки на плоскость

Треугольник прямоугольный равнобедренный, соответственно, Заметим, что угол так что и При этом угол — угол между плоскостью сечения и плоскостью также равен

Спроецируем сечение на плоскость проекциями точек и являются точки и соответственно, проекции точек и назовем и Найдём площадь шестиугольника

Из подобия треугольников и следует, что

Аналогично

С одной стороны,

С другой, если — радиус вписанной сферы, — площадь полной поверхности, то

Тогда

Пусть — центр вписанной сферы, — перпендикуляр к грани прямая пересекает в точке Так как то а также следовательно, в треугольнике Кроме того, подобен следовательно,

По теореме о трех перпендикулярах, Заметим, что если мы будем опускать высоты на остальные грани из точки каждый раз будем получать те же самые подобные треугольники, следовательно, высоты в гранях равны. Тогда

Для начала заметим, что центр вписанной сферы — это точка пересечения всех высот тетраэдра. Проведём эти высоты и назовём их Точки и в свою очередь, будут являться точками касания и представлять собой точки пересечения высот правильных треугольников, являющихся гранями тетраэдра. Также для всех этих граней сразу найдем длину отрезка, являющегося медианой, высотой и биссектрисой:

Теперь рассмотрим плоскость из условия. Видно, что она будет представлять из себя параллелограмм, который назовём где – отрезок, параллельный ребру на грани а — отрезок, параллельный ребру на грани Более того, несложно заметить, что этот параллелограмм является прямоугольником, так как перпендикулярно — это доказывается, если рассмотреть проекцию на основание тетраэдра и заметить, что эта проекция перпендикулярна (основание и высота треугольника ).

Далее нам необходимо найти радиус вписанной сферы. Для этого воспользуемся тем, что ее центр является точкой пересечения высот тетраэдра, которые в силу его правильности являются и медианами. А так как в треугольной пирамиде медианы делятся точкой пересечения в отношении то получаем, что радиус сферы равен высоты тетраэдра. Воспользуемся формулой для высоты правильного тетраэдра и получим, что она равна:

То есть радиус вписанной сферы:

Теперь заметим, что в силу построения наше сечение касается сферы в точке, лежащей на прямой, соединяющей середины и Пусть середина — а точка касания — При этом эта же прямая проходит через центр сферы. Обозначим центр сферы за и проведем на грани высоту которая будет являться также биссектрисой и медианой. После этого рассмотрим прямоугольный треугольник

Величину мы знаем — это радиус найденной сферы. Чтобы найти заметим, что — точка пересечения медиан треугольника а как раз и является этой медианой. Тогда:

Отсюда можем найти

Отсюда получается, что

Теперь найдем

Обозначим на прямых и точки пересечения с нашим сечением: и Далее из подобия треугольников и получаем, что:

Из этого же подобия:

Аналогично из подобия треугольников и получаем, что:

Тогда можем найти площадь сечения как площадь прямоугольника

Первое решение.

Пусть пересекает и в точках и соответственно (то есть Тогда по условию и Пусть — середина Тогда пирамида симметрична относительно плоскости Поскольку пересекает ребро в середине, то в силу симметрии эта плоскость пересекает тоже в середине, поэтому

Пусть — середина Тогда так как Тогда, поскольку то и параллельны. Аналогично можно доказать, что и параллельны. Таким образом, и — параллельные плоскости, поэтому требуемый в задаче угол равен углу между и

Так как по условию и перпендикулярны, то и перпендикулярны, то есть и перпендикулярны Снова применив соображение симметрии, получаем, что то есть — равнобедренный, и — его высота, поскольку является серединой Так как — правильный треугольник (по условию — правильная пирамида), то — тоже высота в треугольнике Таким образом, лежит в плоскости и перпендикулярно а лежит в плоскости и перпендикулярно Эти плоскости пересекаются по прямой Таким образом, нужный угол по определению равен

Пусть Тогда так как — середина По теореме Пифагора из треугольника получаем По теореме Пифагора из треугольника получаем С другой стороны, по теореме Пифагора из треугольника имеем Таким образом, то есть

Так как и перпендикулярны, то и перпендикулярны. Из прямоугольного треугольника

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть пересекает в точке — в точке Пусть Тогда из условия следует, что так как — середина поэтому

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, поэтому Пусть По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, Так как по условию является перпендикуляром к плоскости то и перпендикулярны. Тогда по теореме Пифагора из треугольника получаем То есть По теореме Пифагора для треугольника

Таким образом, Пусть — основание высоты пирамиды Углы между плоскостями равны углам между перпендикулярами к ним, поэтому

Из прямоугольного треугольника получаем Так как — точка пересечения медиан правильного треугольника то Тогда

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Пусть искомый угол это Обозначим пересечение плоскости с ребрами точками соответственно. — середина ребра следовательно, тоже середина ребра, так как пирамида правильная. По условию Обозначим длину как тогда получаем, что

В треугольнике

Тогда по теореме косинусов для треугольника получаем

Обозначим середину ребра точкой Тогда треугольник правильный, так как треугольник правильный, а также плоскость параллельна плоскости основания. — средняя линия в треугольнике следовательно, Обозначим точкой середину В треугольнике

так как треугольник правильный.

Так как плоскость параллельна плоскости основания, то найдем угол между этой плоскости и плоскости

Так как — середина, то В прямоугольном треугольнике находим, что

Тогда

Так как плоскость перпендикулярна высота пирамиды лежит в грани Без ограничения общности можно считать, что сфера касается плоскости в точке лежащей на высоте (этого можно добиться, если выполнять перенос сферы параллельно плоскости основания пирамиды).

Пусть сфера касается плоскости в точке Докажем, что точки и лежат в одной плоскости и эта плоскость содержит . Пусть — центр сферы. — перпендикуляр к плоскости так как это отрезок на высоте пирамиды. — точка касания сферы и поэтому и перпендикулярны. Таким образом, и параллельны, поэтому лежат в одной плоскости (тогда и лежит в этой плоскости). так как эти отрезки являются основаниями трапеции Тогда плоскость параллельна прямой Докажем, что

Мы уже знаем, что Теперь заметим, что все три угла и — прямые, поэтому — прямоугольник. Тогда — перпендикуляр к плоскости так как и перпендикулярны. Таким образом, Тогда, действительно, и поэтому Точка лежит в плоскости Эта плоскость перпендикулярна при этом — прямая, перпендикулярная Тогда тоже лежит в плоскости

Ранее мы отмечали, что — прямоугольник. Так как — радиусы сферы, то на самом деле этот прямоугольник является квадратом. тогда — отрезки касательных. Пусть плоскость пересекает в точке

Пусть (эти отрезки действительно равны, как отрезки касательных). По теореме Пифагора для

Решаем это уравнение и получаем Теперь через точку проведем прямую параллельную причем и Тогда — это сечение пирамиды плоскостью Действительно, плоскость пересекает по прямой, параллельной при этом Поэтому, действительно, линия пересечения и параллельна поэтому совпадает с

Теперь по теореме Фалеса для углов и получаем: и аналогично

Продлим и до пересечения в точке

По условию поэтому точки и соответственно середины и Пусть Ясно, что Применяем теорему Менелая к и прямой

поэтому Пусть — объем пирамиды Пирамида имеет общую высоту с нашей пирамидой Треугольники и подобны с коэффициентом поэтому Тогда получаем, что причем — основание пирамиды если принять за ее вершину. По формуле объема пирамиды:

По теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Снова по теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Тогда — одна из частей, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду Объем второй части равен Тогда требуемое по условию отношение равно

Пусть дана призма — центр данной сферы, которая касается боковых рёбер и в точках и

Заметим, что и следовательно А раз и все четыре точки лежат в одной плоскости, то и — прямоугольник, значит, при этом как диаметр данной сферы.

Рассмотрим треугольник и найдём высоту По формуле Герона тогда

Проецируем на нижнее основание, обозначим проекцию на она будет являться серединой Пусть — точка касания сферы с а — её проекция на нижнее основание.

Раз , то в силу ТТП и свойств проекции Тогда — средняя линия в треугольнике следовательно

Рассмотрим прямоугольную трапецию в ней и Пусть тогда по теореме Пифагора

Теперь зная это, посчитаем объём призмы

Рассмотрим грань . Пусть тогда

Продлим до пересечения лучи и точку пересечения назовём и выразим , используя подобие треугольников и

Выразим теперь вторым способом: через треугольник и тангенс

Используя формулу тангенса двойного угла, получаем, что

Отсюда

Отсюда можно найти : перемножая пропорцию и приводя подобные, получим квадратное уравнение , которое имеет решения и По построению не может превосходить единицу, поэтому то есть — середина .

Аналогично получаем, что — середина и — середина

Заметим, что через проходит плоскость, которая высекает из данного куба шестиугольник и пересекает ещё три ребра в серединах: рёбра и . Такая плоскость часто встречается в задачах: явно построить сечение можно классическим способом, параллельными переносами отрезков. А если уже встречались с таким построением, можно показать, что все 6 точек действительно лежат в одной плоскости, используя параллельность диагоналям граней куба. Поскольку через три точки можно провести только одну плоскость, этот шестиугольник и будет сечением куба плоскостью

Сечение центрально симметрично относительно центра куба Середины отрезков и симметричны относительно центра, как и середины отрезков и и . Таким образом, имеем центральную симметрию всего построения относительно центра куба, следовательно, плоскость делит куб на две равные фигуры.

Пусть и — середины и соответственно. Пусть секущая плоскость пересекает отрезок в точке и (тогда наше сечение — это ). Ясно, что лежит на прямой Пусть — высота треугольника Пусть причем лежит на прямой

и параллельны, причем тогда треугольники и подобны с коэффициентом Тогда Треугольники и подобны с коэффициентом так как и Тогда По теореме Менелая для треугольника и прямой получаем

Тогда получаем следовательно, Пусть По формуле объема

Так как то Тогда

Выразим объем фигуры — одной из частей, на которые разделила призму секущая плоскость:

Тогда Тогда получаем

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида с основанием Пусть — основание высоты этой пирамиды. Заметим, что расстояние от до плоскости равно удвоенному расстоянию от середины высоты до этой плоскости. Аналогично с расстоянием до бокового ребра Пусть — перпендикуляр к а — перпендикуляр к апофеме плоскости

Так как — середина то А также поскольку — высота, то Тогда перпендикулярна в частности, перпендикулярна и к Тогда получается, что перпендикулярна к а значит, как расстояние от основания высоты до боковой грани.

Положим, что тогда так как в квадрате диагональ в раз длиннее стороны. Теперь запишем отношения площадей прямоугольных треугольников и

Теперь пусть тогда А из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора Теперь же из треугольника по теореме Пифагора:

Тогда по формуле высоты для этого же треугольника:

Наконец, по формуле объема пирамиды:

Обозначим через вершины пирамиды, так что — ее основание, а плоскость перпендикулярна ребру .

Поскольку и , имеем . Стало быть, пересекает плоскость по прямой, параллельной , и делит ребра и (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдем это отношение.

Обозначим через основание высоты пирамиды и через — середину ребра . Тогда

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения с прямой — точка пересечения прямых и . Тогда , причем

Из подобия треугольников и получаем:

откуда

Итак, — середина . Обозначим через середину . Тогда , откуда , ибо .

Таким образом, плоскость проходит через середины ребер и . Следовательно, отсекает от пирамиды пирамиду, объем которой равен

То есть делит объем исходной пирамиды в отношении

Пусть — длина стороны ромба, — его меньший угол. Тогда искомая площадь равна причем угол равен углу между прямыми и т.к. сечение параллельно ребрам и

Найдем Пусть сечение пересекает стороны в точках соответственно. Тогда и Пусть и имеют длину и соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых и понимаем, что

Из подобия треугольников и и треугольников и получаем

Отсюда то есть

По теореме Пифагора

Отсюда

Найдем угол — угол между и Он равен углу между направляющими для этих прямых векторами и Их скалярное произведение равно Следовательно,

Соответственно,

Значит, искомая площадь равна

Пусть — данная правильная четырехугольная пирамида с вершиной и высотой Обозначим

Из прямоугольного треугольника находим, что

Пусть — середина ребра Из прямоугольного треугольника находим, что

Значит,

Тогда

Следовательно,

Поскольку сечение — четырёхугольник, плоскость пересекает все грани. Обозначим вершшины основания через и вершину пирамиды через . Тогда можно считать, что секущая плоскость пересекает рёбра в точках соответственно. Поскольку , прямая параллельна всей плоскости . Стало быть, . Аналогично, . Положим .

Тогда косинус двугранного угла при основании равен

что по условию равно , откуда . Из того, что получаем:

Таким образом,

то есть .

Достроим основания призмы до параллелограммов, получим . Получится параллелепипед, в котором и , отсюда . Кроме того, (призма правильная, можно воспользоваться симметрией. Отсюда прямоугольный и равнобедренный. Если , то будет высотой этого треугольника, если дополнительно , то (используем свойства правильного треугольника). Из условия , применяя теорему Пифагора: .

Пусть — длина ребра основания и — длина бокового ребра. В прямоугольном треугольнике имеем и . Стало быть, . Применяя теорему косинусов к треугольнику , получаем, что , откуда . Пусть — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике имеем и . Стало быть, .

Обозначим середины ребер и центр грани через , соответственно. Обозначим также через плоскость .

Найдем точку пересечения плоскости и прямой . Точки лежат в плоскости , следовательно прямые и пересекаются. Пусть - точка их пересечения. Тогда , поскольку треугольники и равны. Точки и принадлежат , следовательно, прямая есть прямая пересечения плоскости с . То есть лежит на отрезке . Из подобия треугольников и следует, что . Следовательно, .

Найдем теперь точку пересечения плоскости и прямой . Прямая лежит в плоскости , равно как и прямая . Обозначим через точку пересечения этих прямых. Из подобия треугольников и следует, что . Точки и принадлежат , следовательно, прямая есть прямая пересечения плоскости с . То есть лежит на продолжении отрезка за точку . Из подобия треугольников и следует, что . Следовательно, .

Прямая есть прямая пересечения плоскости с , то есть она проходит через . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, .

Пусть и — медианы верхней и нижней грани, тогда лежит на — в центре средней линии параллелограмма. Отсюда следует, что при отражении относительно мы попадём на — в точку , то есть .

Также в силу симметрии ( — точка пересечения медиан), тогда , однако заметим, что делит пополам, то есть делит в отношении от вершины , откуда

при этом высота совпадает с высотой призмы, откуда

где — та самая высота.

Сразу отметим, что, поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на , углы и - прямые.

Далее, опустим перпендикуляры и на и соответственно. Тогда , ибо , следовательно, серединный перпендикуляр к в плоскости и, поскольку , точка является серединой . Значит, . Аналогично,

Итак, . Пусть точка, симметричная точке относительно . Тогда и . Следовательно, треугольник равносторонний. При этом . Стало быть, искомый угол равен углу и равен

Грани параллелепипеда являются ромбами. Поскольку плоские углы при вершине равны, равны также и плоские углы при вершине . Стало быть, как равные диагонали ромбов и, по той же причине, . Таким образом, центр сферы, описанной около тетраэдра , является центром окружности, описанной около правильного треугольника , а также является основанием высоты тетраэдра, опущенной из вершины . Отсюда получаем . Итак, диагонали ромба равны и , значит, его сторона равна