Стереометрия на ДВИ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан тетраэдр 
. Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на 
, что плоскости 
и 
перпендикулярны и что 
. Найдите угол между прямыми 
и 
Источники:
Подсказка 1
Пусть К — центр описанной сферы. Отметьте равные отрезки-радиусы сферы. Какой вывод можно сделать, смотря на △ADB и его медиану, равную половине стороны? Какой вывод можно сделать о △АВС?
Подсказка 2
Итак, перед нами два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными катетами, значит они сами...? Проведите высоту DH в △ADB, что можно сказать об отрезке СН, пользуясь перпендикулярностью плоскостей?
Подсказка 3
Из равенства треугольников можно вывести, что ВН = АН, то есть Н совпадает с К, значит △ADB и △AСB не только прямоугольные, но и...?
Подсказка 4
Отметьте L и M — середины рёбер BD и CD соответственно. Что можно сказать о связи LM и BC? А о LK и AD? Осталось внимательно рассмотреть △MLK и записать ответ!
Сразу отметим, что, поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на 
, углы 
и 
- прямые.
Далее, опустим перпендикуляры 
и 
на 
и 
соответственно. Тогда 
, ибо 
, следовательно, 
серединный перпендикуляр к 
в плоскости 
и, поскольку 
, точка 
является серединой 
. Значит, 
.
Аналогично, 
Итак, 
. Пусть 
точка, симметричная точке 
относительно 
. Тогда 
и 
. Следовательно, треугольник 
равносторонний. При этом 
.
Стало быть, искомый угол равен углу 
и равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
