Стереометрия на ДВИ

1. Заметим, что шарик касается всех сторон прямоугольника (пусть это будет в точках ). Любое сечение шарика – круг, следовательно прямоугольник – описанный. Раз так, то – квадрат.

2. Заметим, что шарик касается всех сторон то есть он тоже описанный вокруг окружности, проходящей через точки касания (пусть это будут точки ).

По свойству отрезков касательных получаем равенства Поскольку – квадрат, то откуда то есть – равнобедренный и – высота.

Аналогично – равнобедренный и – высота.

3. Поскольку , то имеем ( – средняя линия ).

Из этого также получаем (по двум не параллельным прямым и внутри ). А раз так, то

Ну и в конце концов, фигуры – трапеции.

4. Рассмотрим четырехугольник Точка – середина Проведем радиусы шара

Заметим, что (равны как отрезки касательных).

Иными словами, Раз так, то То есть и трапеция равнобедренная!

Тогда получаем равенство

Вкупе с равнобедренностью и получаем а значит, фигуры – равнобедренные трапеции.

По свойству касательных ( описанная) имеем А поскольку то очевидно, что точка касания шара отрезка – точка – середина

Трапеция описанная, значит откуда

5. – середина По теореме Пифагора для

6. Опустим высоту на Трапеция равнобедренная, следовательно полученный кусочек большего основания

7. По теореме Пифагора для

8. Проведем диаметр шара Четырехугольник – прямоугольник, значит, где

По теореме о двух пересекающихся хордах:

9. Радиус шара равен длине отрезка

10. Найдем объем шара: