Стереометрия на ДВИ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно 
а до бокового ребра — 
Найдите
объём пирамиды.
Источники:
Подсказка 1
Возможно, стоит взять какую-то более удобную точку, расстояния от которой относятся к данным в условии расстояниям известным образом. Это поможет нам упростить работу! Пусть такой точкой станет основание высоты пирамиды.
Подсказка 2
Итак, нам нужно установить что-то о связи между боковым ребром пирамиды и её основанием, после этого задача будет решать несложным счётом! Как это можно сделать? Чем тут помогут проведённые перпендикуляры-расстояния?
Подсказка 3
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общим катетом-высотой, известными отношениями двух других катетов (отрезки внутри квадрата) и известными высотами – хватит ли этого, чтобы найти отношение бокового ребра пирамиды и апофемы?
Подсказка 4
Осталось обозначить какой-нибудь буквой одно из рёбер пирамиды: внимательная работа с прямоугольными треугольниками поможет нам выразить через эту же переменную данные расстояния и добить задачу!
Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида 
с основанием 
Пусть 
— основание высоты этой пирамиды.
Заметим, что расстояние от 
до плоскости 
равно удвоенному расстоянию от середины высоты до этой плоскости. Аналогично с
расстоянием до бокового ребра 
Пусть 
— перпендикуляр к 
а 
— перпендикуляр к апофеме 
плоскости
Так как 
— середина 
то 
А также поскольку 
— высота, то 
Тогда 
перпендикулярна 
в
частности, перпендикулярна и к 
Тогда получается, что 
перпендикулярна к 
а значит, 
как расстояние от
основания высоты до боковой грани.
Положим, что 
тогда 
так как в квадрате диагональ в 
раз длиннее стороны. Теперь запишем отношения
площадей прямоугольных треугольников 
и 
Теперь пусть 
тогда 
А из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора 
Теперь
же из треугольника 
по теореме Пифагора:
Тогда по формуле высоты для этого же треугольника:
Наконец, по формуле объема пирамиды:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
