Теория чисел на МВ (Финашке)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений в натуральных числах:
Источники:
Подсказка 1
Хочется, чтобы переменные в первом уравнении были более похожими, как можно привести a³, b³ и c³ к одному знаку?
Подсказка 2
Пусть х = -b, a y = -c, тогда первое уравнение примет вид а³ + х³ + у³ - 3⋅а⋅х⋅у = 0. Сразу хочется разбить 3⋅а⋅х⋅у на три части, давайте так и сделаем. Можно ли превратить получившееся выражение в произведение нескольких скобок? Попробуйте что-то добавить и отнять.
Подсказка 3
Если мы добавим и вычтем одночлены вида k⋅t², где k и t принимают значения а, х или у (причём k ≠ t), то сможем сгруппировать выражение.
Подсказка 4
Решите систему уравнений, учитывая, что число а – натуральное, а х и у – целые отрицательные!
Сделаем замену 
и 
Тогда система примет вид:
Преобразуем первое уравнение системы:
Значит, возможны два случая: 
или 
Пусть 
.
И, возвращаясь 
и 
получаем 
и два возможных случая: 
или 
так
как 
и 
— натуральные числа.
Пусть 
Заметим, что
При этом равенство достигается только при 
Но это невозможно, так как 
— натуральное число, а 
и 
—
отрицательные числа.
Таким образом, подходят только две тройки: 
или 
или 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
