Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Теория чисел на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#129638Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений в натуральных числах:

{ a3− b3 − c3 = 3abc a2 = 3b+3c

Источники: Миссия выполнима - 2025, 10.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется, чтобы переменные в первом уравнении были более похожими, как можно привести a³, b³ и c³ к одному знаку?

Подсказка 2

Пусть х = -b, a y = -c, тогда первое уравнение примет вид а³ + х³ + у³ - 3⋅а⋅х⋅у = 0. Сразу хочется разбить 3⋅а⋅х⋅у на три части, давайте так и сделаем. Можно ли превратить получившееся выражение в произведение нескольких скобок? Попробуйте что-то добавить и отнять.

Подсказка 3

Если мы добавим и вычтем одночлены вида k⋅t², где k и t принимают значения а, х или у (причём k ≠ t), то сможем сгруппировать выражение.

Подсказка 4

Решите систему уравнений, учитывая, что число а – натуральное, а х и у – целые отрицательные!

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x= −b$ и $y = −c.$ Тогда система примет вид:

{ a3+ x3+ y3− 3axy = 0 a2 = −3x− 3y

Преобразуем первое уравнение системы:

a3+ x3+y3− 3axy = a3 − axy+ x3− axy+ y3− axy =

= a3− axy +ax2+ ay2 − a2x− a2y +x3− axy+ xa2+ xy2− x2a − x2y+ y3− axy+ ya2+yx2− y2a− y2x=

= a(a2 − xy+ x2+ y2 − ax− ay)+x(x2− ay +a2+ y2− xa − xy)+ y(y2− ax+a2+ x2− ya− yx)=

=(a+ x+ y)(a2+x2+ y2− ax − ay− xy)= 0

Значит, возможны два случая: $a+ x+ y = 0$ или $a2+ x2+ y2− ax− ay− xy = 0.$

Пусть $a+x +y =0$ .

{ a+ x+ y = 0 a2 = −3x− 3y

{ a2=− (x +y) a = 3a

{ x+ y = −3 a= 3

И, возвращаясь $b=− x$ и $c= −y,$ получаем $b+ c= 3$ и два возможных случая: $a= 3,$ $b =1,$ $c= 2$ или $a= 3,$ $b=2,$ $c= 1,$ так как $a,$ $b$ и $c$ — натуральные числа.

Пусть $a2 +x2+ y2− ax − ay− xy = 0.$ Заметим, что

a2+ x2+ y2 ≥ax +ay+ xy

При этом равенство достигается только при $a= x= y.$ Но это невозможно, так как $a$ — натуральное число, а $x= −b$ и $y = −c$ — отрицательные числа.

Таким образом, подходят только две тройки: $a= 3,$ $b= 1,$ $c=2$ или $a= 3,$ $b= 2,$ $c= 1.$

Ответ:

$a =3,$ $b= 1,$ $c= 2$ или $a =3,$ $b= 2,$ $c= 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#129639Максимум баллов за задание: 7

Является ли простым число $2...27999...9$ ? (сначала $2$ написано $2024$ раза, затем $9$ написано $2024$ раза).

Источники: Миссия выполнима - 2025, 10.4 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что легче доказать: простоту числа или обратное утверждение?

Подсказка 2

Конечно же, второе! Попробуем явно найти делитель.

Подсказка 3

Банальные признаки делимости не подходят, но может, есть что-то другое? На что всегда делится число, записанное одинаковыми цифрами?

Подсказка 4

Казалось бы, задача почти решена, но мешает 7. Вот если бы на 7 делились числа из двоек и девяток...

Подсказка 5

Осталось только всё строго записать! Представьте исследуемое число в виде суммы, в которой каждое из слагаемых кратно 7.

Показать ответ и решение

Заметим, что число $111111 =7 ⋅15873$ делится на $7.$ Тогда числа $222222= 2⋅111111$ и $999999= 9⋅111111$ тоже делятся на $7.$ Также на $7$ делится и число $22799 =7 ⋅3257.$ Откуда следует, что число

4043 2027 2022 2016 2...279...9= 222222⋅10 + ...+222222⋅10 + 22799⋅10 + 999999⋅10 +...+ 999999

делится на $7,$ так как каждое из слагаемых суммы, в виде которой можно представить заданное число, тоже делится на $7.$ А раз у нужного числа есть делитель, отличный от самого себя и $1,$ то оно не является простым.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63947Максимум баллов за задание: 7

Десятичная запись суммы $3 +33+ 333 +...+ 33...3$ оканчивается на $2023.$ Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима-2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на эту сумму по модулю 10000: она должна быть равной 2023. С другой стороны, чему она равна, если у нас, например, n слагаемых в ней?

Подсказка 2

Она равна 3+33+333+3333(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 3333)

Показать ответ и решение

Пусть в последнем слагаемом $n$ цифр. По условию десятичная запись суммы $3+ 33+333+ ...+ 33...3 ◟ ◝◜n-◞$ оканчивается на $2023:$

2023 ≡ 3+ 33 +333+ ...+3◟3.◝.◜.3◞ ≡ 3+ 33+ 333+ 3333(n − 3) 10000 n 10000

то есть при некотором натуральном $m$ верно

3+ 33 +333+ 3333(n − 3)= 2023 +10000m = 2023+ 3333⋅3m + m

2023− (3+-33+333)+m n= 3+ 3m+ 3333

откуда с учётом натуральности $m$ сразу следует условие для сократимости дроби

2023− (3 +33+ 333)+ m ≥3333 ⇐⇒ m ≥1679

Следовательно,

n≥ 3+ 3⋅1679+ 1= 5041

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Ответ: 5041

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76730Максимум баллов за задание: 7

Десятичная запись суммы $1+ 11+ 111+ ...+ 11...1$ оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Она равна 1+11+111+1111(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 1111)

Показать ответ и решение

Указанную сумму обозначим через $S$ , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через $n$ . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна $123 +1111(n− 3)$ , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и $S$ .

Поэтому выполнено равенство $123+ 1111(n− 3)= 10000m+ 2023$ , где $m$ - некоторое натуральное число. Отсюда

10000m + 2023− 123 m + 789 n− 3= ------1111------= 9m + -1111- +1

Наименьшее $m$ , при котором $m+ 789$ делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение $n$ равно $3+ 9322 +1+ 1= 2903$ .

Ответ: 2903

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76536Максимум баллов за задание: 7

Число $a >0$ таково, что неравенства $2≤ an ≤ 4$ выполняются ровно при $5$ натуральных значениях $n.$ При скольких натуральных значениях $n$ могут выполнятся неравенства $n 4≤a ≤8?$

Источники: Миссия выполнима-2022, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пользоваться изначальным неравенством, где n стоит в показателе степени, неудобно. Предположим logₐ 2 = 𝜶 и зададим обычные ограничения на n. Если при заданном а значений n ровно 5, то как можно записать это в виде неравенства?

Подсказка 2

Верно, числа от n до n+4 принадлежат промежутку от 𝜶 до 2𝜶, при этом n-1 уже меньше 𝜶, а n+4 больше 2𝜶. Теперь попробуем преобразовать наше неравенство так, чтобы "зажать" и найти количество значений n, лежащих в промежутке от 2𝜶 до 3𝜶.

Подсказка 3

И не забудьте для каждого количества решений привести примеры!

Показать ответ и решение

Ясно, что $a> 1.$ Полагая $log 2= α, a$ неравенство $2≤an ≤4$ перепишем в виде $α≤ n≤ 2α,$ а неравенства $4≤ an ≤8$ - в виде $2α ≤n ≤3α.$ Согласно условию, для некоторого натурального числа $m$ выполнены неравенства $m − 1 <α ≤ m< m + 4≤2α <m + 5.$ Из них следует, что

2m − 2< 2α ≤2m < 2m +3< 3α< 2m +5.

Таким образом, неравенствам $2α ≤n ≤3α$ обязательно удовлетворяет четвёрка чисел ${2m;2m +1;2m+ 2;2m + 3}$ и, возможно , одно или оба числа пары ${2m − 1;2m +4}.$

Приведём три соответствующих примера. При $α= 4,6$ имеем $m =5$ и

2m − 1 <2α <3α <2m + 4;

при $α= 5,2$ имеем $m =6$ и выполняются неравенства

2α< 2m − 1 <3α <2m + 4;

наконец, если $α =5,4,$ то $m =6$ и

2α< 2m − 1 <2m + 4< 3α.

Ответ: четыре, пять или шесть

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76733Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любого натурального $n$ существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в $11...11 ◟--◝◜n-◞$ раз.

Источники: Миссия выполнима-2022, 10.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для каких чисел проще всего проверить делимость на число, состоящее из одних единиц?

Подсказка 2

Для чисел, состоящих из одинаковых цифр, или тех, которые получаются из вышесказанных домножением на какое-нибудь число. Попробуем найти такое число, полученное из числа, состоящего из девяток.

Подсказка 3

Найдите число с суммой цифр 9n, удовлетворяющее требованием из предыдущих подсказок.

Показать доказательство

Рассмотрим десятичную запись числа $n(10n − 1).$ Пусть число $n$ оканчивается на $k$ нулей. Если последняя ненулевая цифра числа $n$ равна $x$ , то у числа $n n(10 − 1)$ последняя ненулевая цифра будет $10 − x.$ Если предпоследняя цифра $y$ , то у числа $n n(10 − 1)$ предпоследняя цифра будет $9− y$ и т.д. А в начале числа $n n(10 − 1)$ будут идти цифры числа $n$

$PIC$

Далее легко видеть, что сумма цифр $n(10n − 1)$ будет равна $9n$ .

Таким образом, условию удовлетворяет число $n(10n− 1)$ .

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#101479Максимум баллов за задание: 7

Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа. Докажите, что число $5n+ 5m$ можно представить в виде суммы двух точных квадратов тогда и только тогда, когда число $n − m$ чётное.

Показать доказательство

Если $m$ и $n$ оба четны, то $m = 2k,n =2l$ и

2k 2l (k)2 ( l)2 5 +5 = 5 + 5

Если $m$ и $n$ оба нечетны, то $m = 2k +1,n= 2l+1$ и

( )2 ( )2 52k+1+ 52l+1 = 5k+2 ⋅5l + 5l− 2⋅5k

Если $m$ и $n$ имеют разную четность, то $5n +5m = 52k+1+ 52l ≡ 6(mod8)$ . Но остатки точных квадратов по модулю 8 могут принимать лишь значения 0, 1 и 4. Остаток их суммы по модулю 8 не может быть равен 6.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76732Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны все натуральные числа от $1$ до $100.$ Можно любую пару чисел $x,y$ заменять на $xy − 29x− 29y +870.$ Какое число останется после $99$ таких операций?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сходу непонятно, почему при изменении порядка произведения операций в итоге должно остаться одно и то же число. Скорее всего наша операция устроена как-то хитро. Вас не смущает какой-то намек на число 29?

Подсказка 2

Наша операция как-то сильно связана с числом 29. Может, при подстановке 29 будет что-то интересное. Попробуйте подставить пару (a, 29) и посмотреть, что получится...

Подсказка 3

Хммм... При такой подстановке функция выдает значение 29. Очевидно, что и при подстановке пары (29, а) значение будет также равняться 29. Какое же тогда число скорее всего останется в конце?

Подсказка 4

Верно, 29! Ведь если сейчас на доске есть число 29, то после применения операции оно также останется на доске. Т.к. изначально оно присутствует, то и в конце тоже.

Показать ответ и решение

Заметим, что $xy− 29x− 29y+870= (x− 29)(y − 29)+29$ . Если одно из пары заменяемых чисел $x,y$ равно $29$ , то эта пара чисел заменяется на $29$ . Следовательно, на доске всегда одно из чисел будет равно $29$ . Именно это число останется после $99$ рассматриваемых операций.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#108626Максимум баллов за задание: 7

Зная, что $0,698< lg5 <0,699$ , определите, у скольких из чисел $1,5,25,...,5n,...,5100$ десятичная запись начинается с единицы.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о числах, которые нам надо найти. Хорошей идеей здесь будет рассмотреть не степени пятёрки, начинающиеся с единицы, а все остальные степени пяти. Как часто встречаются степени пятёрки, начинающиеся не с единицы?

Подсказка 2

Сколько таких чисел от 0 до 9? А от 10 до 99? А от 100 до 999? Какой можно сделать вывод о том, сколько среди k-значных чисел найдётся начинающихся не с единицы степеней пятёрки?

Подсказка 3

Верно, для любого натурального k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Осталось понять, а сколько существует таких k, что в нашем наборе есть k-число. Для этого подумаем, а сколько знаков имеет число 5¹⁰⁰?

Подсказка 4

Да уж, число действительно большое, и не понятно, как к нему подступиться. Давайте внимательно посмотрим на условие и найдём то, что мы еще не использовали. Зачем нам могли дать логарифм пяти по основанию 10?

Подсказка 5

Если мы возведём 10 в степень, равную данному логарифму, то получим 5. А если возведём в эту же степень 10¹⁰⁰, то получим 5¹⁰⁰. Гораздо легче понять, сколько знаков имеет степень десятки и с какой цифры она начинается:)

Показать ответ и решение

Десятичная запись числа $5100 = 10100lg5$ , лежащего на отрезке $[1069.8;1069.9]$ , состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства

0.8 69 69 10 ⋅10 > 2⋅10

начинается не с единицы.

Заметим, что при любом натуральном $k$ среди $k$ -значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора ${1,5,25,...,5n,...5100}$ начинаются с цифр, отличных от единицы.

С единиц же начинаются записи остальных $101 − 70= 31$ чисел.

Ответ: у 31 числа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76052Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p(x)$ — такой многочлен с целыми коэффициентами, что $p(7)= 6.$ Может ли число $p(2019)$ быть полным квадратом?

Источники: Миссия выполнима 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно что-то понять про p(2019), хотя знаем мы только p(7). Как нам их связать?

Подсказка 2

Точно, существует теорема Безу! Что мы теперь знаем?

Подсказка 3

(p(2019) - 6) делится на 2012. Какие свойства есть у числа, являющегося полным квадратом?

Подсказка 4

Например, может ли квадрат делиться на число 5, но не делиться на 25? Воспользуйтесь сравнением по модулю.

Показать ответ и решение

По теореме Безу $(p(x)− p(y)) ..(x− y). .$ Тогда

.. (p(2019)− p(7)). (2019− 7)

т.е. $(p(2019)− p(7))$ делится на 2012, а значит, и на 4. Отсюда следует, что $p(2019)$ имеет остаток $2$ по модулю $4,$ чего не бывает у полных квадратов.

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#77220Максимум баллов за задание: 7

Экстравагантный миллиардер Единицын решил тратить на поддержку образования каждый год одну и ту же сумму денег, равную $N$ рублей. При этом все цифры числа $N$ равны $1.$

а) В первый год к нему обратились $3$ университета, и он смог разделить эту сумму между ними поровну. Во второй год к нему обратилось уже $9$ университетов, и Единицын также смог разделить деньги между ними поровну. Какую сумму тратил миллиардер на поддержку образования каждый год?

б) Если предположить, что денег у Единицына неограниченно, то смог бы он выделить такую сумму $N,$ чтобы её можно было разделить поровну между $43$ университетами?

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Какой щедрый миллиардер! Что мы можем сказать про сумму, которую он ежегодно тратит на поддержку университетов, если её можно поровну поделить и на 3, и на 9?

Пункт а, подсказка 2

Верно, эта сумма делится на 9. Подумайте, когда число, состоящее из единиц, кратно девяти.

Пункт а, подсказка 3

Тут надо вспомнить признак делимости на девять: число кратно девяти, если сумма его цифр кратна девяти. А чему равна сумма цифр нашего числа?

Пункт а, подсказка 4

Число N состоит из одних единиц, следовательно, сумма его цифр равна количеству этих цифр!

Пункт б, подсказка 1

Сложно найти число, делящееся на 43, в бесконечной последовательности чисел 1, 11, 111, 1111... Не делить же каждое из них на 43 по очереди, и в целом рассмотрение каждого числа по отдельности ничего нам не даст. Попробуйте посмотреть на какие-нибудь пары этих чисел, некоторым образом связанные по модулю 43.

Пункт б, подсказка 2

Есть ли среди чисел, состоящих из одних единиц, те, что имеют одинаковый остаток по модулю 43?

Пункт б, подсказка 3

Есть! Ведь чисел бесконечно много, а вариантов для остатка всего 43. Тогда рассмотрим два числа из последовательности, имеющие одинаковые остатки при делении на 43. Подумайте, что можно сказать про разность таких чисел? Какой вид она имеет?

Пункт б, подсказка 4

Конечно, она делится на 43. Супер, мы нашли число, кратное 43. Но ведь оно не имеет нужный вид... А какой вид оно вообще имеет?

Пункт б, подсказка 5

На самом деле это число имеет вид 11..10..0. То есть является произведением какого-то числа Х из нашей последовательности и степени десятки. А делится ли Х на 43?

Показать ответ и решение

a) Заметим, что подходят только числа $N$ , содержащие $9k, k ∈ℕ$ единиц, чтобы была делимость на $3$ и $9$ . То есть подходят $109k−1 N = 9 , k∈ ℕ.$

б) Да, смог бы. Рассмотрим числа вида $1,11,111,....$ Их бесконечно много, поэтому остатки от деления на $43$ где-то повторятся. Тогда разность большего и меньшего этих двух чисел имеет вид $m d= 1...10...0= 1...1⋅10$ , и она делится на $43$ . И так как $43$ не делится на $10$ , то и $-d- 10m$ делится на $43$ и имеет вид $1 ...1.$

Ответ:

а) $109k−1, k ∈ℕ. 9$

б) да