Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.12 Трапеция и ее свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#18491Максимум баллов за задание: 1

В трапеции $P EMD$ с основаниями $EM = 1$ и $P D = 1,5$ диагонали $P M$ и $ED$ пересекаются в точке $O.$ Найдите $OD,$ если $ED = 4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$P EMD$ — трапеция, следовательно, $EM ∥P D.$ Значит, $∠EMP = ∠DP M$ как накрест лежащие. $△ PDO ∼ △MEO$ по двум углам ( $∠P OD = ∠MOE$ как вертикальные, $∠EMO = ∠EMP = ∠DP M =∠DP O$ ), следовательно

EM EO 1 2 PD--= OD-= 1,5 = 3

Обозначим $OD = 3x,$ тогда $EO = 2x.$ Кроме того

4 =ED = OD + EO = 5x x= 4 = 0,8 5 OD = 3x= 2,4

Ответ: 2,4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#18607Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для начала найдем длину средней линии трапеции: она равна полусумме оснований, то есть

6+ 8 -2-- =7

Так как $EF$ — средняя линия трапеции $ABCD,$ то $EF ||AB$ и при этом $E$ — середина $AD.$

Тогда в треугольнике $ADB$ отрезок $EO$ параллелен основанию $AB$ и при этом проходит через середину стороны $AD.$ Значит, $EO$ — средняя линия треугольника $ADB$ и

EO = 1AB = 4 2

Тогда отрезок $OF$ равен

OF =EF − EO = 7− 4= 3

Следовательно, наибольший из отрезков средней линии трапеции равен 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#22942Максимум баллов за задание: 1

Средняя линия трапеции равна 20. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 1 : 4. Найдите большее основание трапеции.

Показать ответ и решение

Пусть $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD.$ Точки $M$ и $N$ – середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Пусть диагональ $AC$ пересекает $MN$ в точке $K.$ Тогда $MK$ и $NK$ – средние линии треугольников $ABC$ и $ACD$ соответственно. Значит, получаем

MK = 1BC, 2 NK = 1AD 2

Следовательно, $NK > MK,$ так как $AD > BC.$

$PIC$

Тогда имеем:

NK :MK = 4:1 ⇒ NK :MN = 4:5 NK = 4MN = 16 ⇒ AD = 2NK =32 5

Значит, большее основание трапеции равно 32.

Замечание.

Для диагонали $BD$ расчеты аналогичны, то есть выбор диагонали не имеет значения.

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#23880Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $AB = 11,$ $DC = 10.$

$PIC$

Так как $EF$ — средняя линия трапеции, то $EO$ и $OF$ — средние линии треугольников $ADC$ и $ACB$ соответственно. Тогда имеем:

EO = 1DC = 1 ⋅10= 5 2 2 1 1 OF = 2AB = 2 ⋅11= 5,5

Больший из этих отрезков равен 5,5.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#23889Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

1 12 2(3 +9)= 2-= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#23894Максимум баллов за задание: 1

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 113 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180∘.$ Тогда если один из таких углов равен $113∘,$ то другой равен

180∘− 113∘ = 67∘

Оставшиеся два угла равны $90∘,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен $67∘.$

Ответ: 67

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#54861Максимум баллов за задание: 1

Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 5$ и $AD = 11$ и прямым углом $A.$ Найдите высоту трапеции, если известно, что боковая сторона $CD$ равна 10.

Показать ответ и решение

Проведем высоту $CH.$ Рассмотрим четырехугольник $ABCH.$ В нем все углы прямые, следовательно, $ABCH$ — прямоугольник. Значит, $AH = BC = 5.$

$PIC$

Таким образом,

DH = AD − AH = 11− 5= 6

Рассмотрим треугольник $CHD.$ В нем $∠CHD = 90∘,$ а значит можем записать для него теорему Пифагора:

CD2 = CH2 + DH2 ⇔ 100= 36+ CH2 ⇒ CH = √64-= 8

Таким образом, высота трапеции $ABCD$ равна 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#83744Максимум баллов за задание: 1

Площадь прямоугольной трапеции с основаниями 19 и 7 равна 156. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Опустим высоту $CE$ на большее основание $AD$ трапеции. Тогда $ABCE$ — прямоугольник и $AE = BC = 7.$ Кроме того, $ED = AD − AE = 19− 7= 12.$

Запишем площадь трапеции, чтобы найти длину высоты $CE :$

1 -2SABCD- 2⋅156 SABCD = 2 (BC + AD )⋅CE ⇒ CE = BC +AD = 19+ 7 = 12

Получили, что $CE =12 = ED.$ Тогда треугольник $CDE$ — прямоугольный с равными катетами, значит, его острый угол равен $45∘.$

$PIC$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#134339Максимум баллов за задание: 1

Показать ответ и решение

Пусть \$MN\$ — средняя линия трапеции \$ABCD\$ с большим основанием \$AD.\$ Точки \$M\$ и \$N\$ — середины боковых сторон \$AB\$ и \$CD\$ соответственно. Пусть диагональ \$AC\$ пересекает \$MN\$ в точке \$K.\$ Тогда \$MK\$ и \$NK\$ — средние линии треугольников \$ABC\$ и \$ACD\$ соответственно. Значит, получаем \\[\begin{gathered} MK = \dfrac{1}{2}BC, \\\[1ex] NK = \dfrac{1}{2}AD \end{gathered}\\] Следовательно, \$NK > MK,\$ так как \$AD > BC.\$

Тогда имеем: \\[\begin{gathered} NK : MK = 4 : 1 \quad\Rightarrow\quad NK : MN = 4 : 5 \\ NK = \dfrac{4}{5}MN = 16 \quad\Rightarrow\quad AD = 2NK = 32 \end{gathered}\\] Значит, большее основание трапеции равно 32.
Замечание.
Для диагонали \$BD\$ расчеты аналогичны, то есть выбор диагонали не имеет значения.