.05 Дифференцируемость функций многих переменных.

Раз нам дано, что для любой точки , то это означает, что линейное отображение в каждой точке (где это такое отображение, что при ). Но мы знаем, что коэффициенты матрицы - это в точности частные производные функции по её соответствующим переменным. Таким образом, нам по сути дано, что

Действительно, пусть наш шар - это шар радиуса с центром в .
(напоминание: )

Тогда любая точка этого шара - это его центр плюс какой-то вектор такой, что .

То есть, любая точка шара представляется в виде , . Но тогда, очевидно, и весь отрезок лежит в .

Но тогда, поскольку наша дифференцируема в , то следовательно и в отрезке . Значит, к ней мы можем применить теорему о среднем для многомерных функций:

Следовательно , то есть, значения в центре шара такие же, как и в любой точке в шаре , .