5.03 Действия над цифрами числа

Программное решение:

В данной задаче нам нужно найти наибольшее четырёхзначное число k, такое что при пятикратном применении алгоритма трансформации числа сумма его цифр станет равной 18, а третья цифра полученного числа M будет равна 6. Алгоритм автомата заключается в том, что на каждом шаге последняя цифра числа увеличивается на единицу и переставляется в начало числа. Чтобы корректно реализовать этот алгоритм в Python, мы используем цикл for i in range(1000, 10000), который перебирает все возможные четырёхзначные числа. Для каждого числа создаём список n, содержащий отдельные цифры числа i, чтобы удобно манипулировать последней цифрой и переставлять её в начало. Внутри ещё одного цикла for j in range(5) мы выполняем пять итераций преобразования. На каждой итерации проверяем, не равна ли последняя цифра 9, чтобы не произошло переполнения: если равна — прекращаем преобразования для данного числа. Если переполнения нет, увеличиваем последнюю цифру на единицу и переставляем её в начало числа, смещая остальные цифры вправо. Для контроля того, что все пять преобразований были успешно выполнены, используем счётчик counter, который увеличивается на единицу после каждой успешной итерации. После завершения пяти итераций проверяем условия задачи: сумма всех цифр равна 18, третья цифра числа M равна 6, и счётчик равен 5 (все преобразования прошли без переполнения). Если все условия выполняются, выводим исходное число i. Такой подход позволяет корректно моделировать работу автомата и выбирать только те числа, которые удовлетворяют всем условиям.

# Перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно
for i in range(1000, 10000):
    # Преобразуем число i в список цифр для удобной работы с последней цифрой
    n = list(map(int, str(i)))
    # Счётчик успешных преобразований, чтобы отслеживать переполнение
    counter = 0
    # Выполняем пять итераций преобразования числа, как описано в алгоритме
    for j in range(5):
        # Проверяем, не равна ли последняя цифра 9, чтобы избежать переполнения
        if n[-1] == 9:
            break  # Прерываем цикл, если переполнение произошло
        else:
            # Увеличиваем последнюю цифру на единицу
            n[-1] += 1
            # Переставляем последнюю цифру в начало списка, сдвигая остальные вправо
            n = [n[-1]] + n[:-1]
            # Увеличиваем счётчик успешных преобразований
            counter += 1
    # После пяти итераций проверяем условия задачи:
    # сумма цифр равна 18, третья цифра числа равна 6, и все 5 преобразований выполнены
    if sum(n) == 18 and n[2] == 6 and counter == 5:
        # Если условия выполнены, выводим исходное число
        print(i)

Аналитическое решение:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Если , то новое число будет представлено в виде . Заметим, что сумма цифр нового числа на больше чем сумма цифр исходного числа . Тогда сумма цифр исходного числа есть . Также заметим, что если на третьей позиции в числе стоит , то верно , откуда ; Значит, необходимо подобрать такие , чтобы их сумма была равна , и число было максимально. При этом а Такое число .