5.03 Действия над цифрами числа

Решение аналитикой:

Максимальное значение, которое можно получить при сложении двух цифр, — 18. Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие 18: 17|18.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 17. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

Разложения, в которых участвуют числа, больше 9, нам не подходят.

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа 17. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 18. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

Разложения, в которых участвуют числа, больше 9, нам не подходят.

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа 18. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить 1718, поставим первой цифрой 8 для получения наименьшего числа, а затем три девятки. Получаем ответ — 8999.

Проверим его: , запишем результаты в порядке неубывания: 1718.

Решение программой:

В условии задачи нам дан автомат, который получает на вход четырёхзначное число и преобразует его в новое число по определённым правилам. Для решения нам нужно реализовать эти правила на языке Python и найти наименьшее число, которое при обработке даёт конкретный результат. Сначала мы перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно, поскольку условие требует именно четырёхзначное число. Для каждого числа мы преобразуем его в строку, чтобы можно было легко работать с отдельными цифрами. После этого складываем первую и вторую цифры числа, а затем складываем третью и четвёртую цифры. Получившиеся суммы сохраняем в переменные. Далее нам нужно соединить эти два числа в порядке неубывания без каких-либо разделителей, то есть мы сначала находим минимальное из двух сумм, потом максимальное, преобразуем каждое в строку и объединяем их вместе. После этого сравниваем полученную строку с целевым значением, указанным в условии, — строкой "1718". Если совпадение есть, значит мы нашли искомое число, и выводим его. Поскольку нас интересует наименьшее такое число, прерываем цикл сразу после первого найденного варианта.

for x in range(10 ** 3, 10 ** 4):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999
    s = str(x)  # Преобразуем число в строку, чтобы получить доступ к каждой цифре

    # Складываем первую и вторую цифры исходного числа
    x1 = int(s[0]) + int(s[1])
    # Складываем третью и четвёртую цифры исходного числа
    x2 = int(s[2]) + int(s[3])

    # Формируем новое число, соединяя суммы в порядке неубывания без разделителей
    if str(min(x1, x2)) + str(max(x1, x2)) == ’1718’:
        print(x)  # Выводим искомое число
        break  # Завершаем перебор, так как найден наименьший подходящий вариант

Максимальное значение, которое можно получить при сложении двух цифр, — 18. Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие 18: 12|18.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 12. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

Разложения, в которых участвуют числа, больше 9, нам не подходят.

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа 12. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 18. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

Разложения, в которых участвуют числа, больше 9, нам не подходят.

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа 18. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить 1218, поставим первой цифрой 3 для получения наименьшего числа, а затем три девятки. Получаем ответ — 3999.

Проверим его: , запишем результаты в порядке неубывания: 1218.

Решение программой:

В этой задаче нам нужно реализовать на Python алгоритм, который описан в условии, и найти наименьшее четырёхзначное число, при обработке которого автомат выдаёт заданный результат. Мы начинаем с того, что перебираем все целые числа от 1000 до 9999 включительно, так как именно такие числа являются четырёхзначными. В теле цикла каждое число k мы сразу преобразуем в строку с помощью str(k). Это нужно для того, чтобы получить доступ к отдельным цифрам по индексам, ведь в строковом виде число легко разложить на символы: str(k)[0] — первая цифра, str(k)[1] — вторая, str(k)[2] — третья, а str(k)[3] — четвёртая. Каждую цифру мы преобразуем обратно в целое число с помощью int(...) и складываем: первую с второй, третью с четвёртой. Эти суммы записываем в переменные s1 и s2. Далее, согласно условию, из двух полученных сумм нужно составить новое число, записав их друг за другом в порядке неубывания. Порядок мы определяем с помощью функций min и max, а чтобы объединить их без пробелов и знаков, преобразуем каждую сумму в строку и складываем строки. После этого сравниваем полученную строку с целевым значением ’1218’. Если совпадение найдено, значит текущее число k подходит. Так как числа мы перебираем по возрастанию, первое найденное число будет наименьшим, и мы выводим его с помощью print, а затем сразу прерываем цикл оператором break, чтобы не проверять лишние варианты.

for k in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    s1 = int(str(k)[0]) + int(str(k)[1])  # Складываем первую и вторую цифры числа
    s2 = int(str(k)[2]) + int(str(k)[3])  # Складываем третью и четвёртую цифры числа
    # Формируем результат: две суммы записываются в порядке неубывания без разделителей
    if str(min(s1, s2)) + str(max(s1, s2)) == ’1218’:  # Сравниваем результат с целевым значением ’1218’
        print(k)  # Выводим найденное число
        break     # Прерываем цикл, так как первое найденное число будет наименьшим

Решение 1

Максимальное значение, которое можно получить при сложении двух цифр, — . Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие : |.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа . Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

Разложения, в которых участвуют числа, больше , нам не подходят.

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа . В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа . Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

— самое выгодное для нас разложение числа . В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить , исходя из разложений, получим ответ — .

Проверим его: , запишем результаты в порядке возрастания: .

Решение 2

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее четырёхзначное число, при обработке которого автомат выдаёт результат 717. Сначала внимательно переводим условие задачи на язык Python. Нам нужно перебрать все целые числа от 1000 до 9999 включительно, потому что именно такие числа являются четырёхзначными. Для этого используем цикл for. Каждое число i внутри цикла мы сразу преобразуем в строку с помощью str(i), чтобы можно было легко обращаться к отдельным цифрам по индексам: a[0] — первая цифра, a[1] — вторая, a[2] — третья, a[3] — четвёртая. Далее, согласно условию, мы складываем первую и третью цифры (int(a[0]) + int(a[2])) и сохраняем результат в переменной x1, а вторую и четвёртую (int(a[1]) + int(a[3])) — в переменной x2. После этого нам нужно записать полученные суммы друг за другом в порядке возрастания без пробелов и разделителей. Для этого мы проверяем, какая из сумм меньше, и в зависимости от этого формируем строку x, где сначала идёт меньшая сумма, затем большая. Когда строка готова, мы сравниваем её с заданным результатом ’717’. Если совпадение найдено, значит текущее число i подходит. Поскольку числа перебираются в порядке возрастания, первое найденное сразу будет наименьшим, и мы его выводим на экран с помощью print. После этого с помощью break прерываем выполнение цикла, чтобы не проверять лишние значения.

for i in range(1000, 10000):            # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    a = str(i)                          # Преобразуем число в строку для доступа к отдельным цифрам
    x1 = int(a[0]) + int(a[2])          # Складываем первую и третью цифры числа
    x2 = int(a[1]) + int(a[3])          # Складываем вторую и четвёртую цифры числа
    if x1 > x2:                         # Если первая сумма больше второй
        x = str(x2) + str(x1)           # Формируем строку: сначала меньшая сумма, затем большая
    else:                               # Иначе, если первая сумма меньше или равна второй
        x = str(x1) + str(x2)           # Формируем строку: сначала x1, затем x2
    if x == "717":                      # Проверяем, совпадает ли результат с заданным "717"
        print(i)                        # Если совпадает, выводим найденное число
        break                           # Прерываем цикл, так как нашли наименьшее подходящее число

Решение программой:

В этой задаче нам нужно найти наименьшее трёхзначное число, которое при обработке автоматом даёт результат 213. Алгоритм работы автомата описан в условии, и мы должны пошагово перевести его на язык Python. Начнём с того, что трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999 включительно, поэтому в коде используем цикл for с range(100, 1000), чтобы перебрать каждое возможное значение. Каждое число в цикле мы преобразуем в строку через str(i), чтобы удобно было обращаться к его отдельным цифрам по индексам: i[0] — первая цифра, i[1] — вторая, i[2] — третья. Далее, как сказано в условии, мы перемножаем первую и вторую цифры, получая результат в переменной first, и вторую и третью цифры, сохраняя его в second. Эти произведения нужно расположить в порядке невозрастания, то есть сначала большее или равное, а потом меньшее. Для этого мы сравниваем first и second: если first меньше, то в результирующую строку res помещаем сначала second, потом first; иначе сначала идёт first, затем second. Заметим, что при формировании результата мы используем конкатенацию строк (str(...) + str(...)), чтобы два числа оказались записаны подряд без разделителей. После этого мы сравниваем полученную строку res с заданной строкой ’213’. Если они совпадают, значит текущее число — это то, что мы ищем. Так как числа перебираются по возрастанию, первое найденное сразу будет наименьшим, поэтому мы его выводим и прерываем цикл с помощью break, чтобы не проверять остальные значения.

for i in range(100, 1000):               # Перебираем все трёхзначные числа от 100 до 999
    i = str(i)                           # Преобразуем число в строку для удобного доступа к цифрам
    first = int(i[0]) * int(i[1])        # Вычисляем произведение первой и второй цифр числа
    second = int(i[1]) * int(i[2])       # Вычисляем произведение второй и третьей цифр числа
    if first < second:                   # Если первое произведение меньше второго
        res = str(second) + str(first)   # Формируем строку: сначала большее число, затем меньшее
    else:                                # Иначе (если первое больше или равно второму)
        res = str(first) + str(second)   # Формируем строку: сначала первое произведение, затем второе
    if res == ’213’:                     # Проверяем, совпадает ли результат с искомым "213"
        print(i)                         # Выводим найденное число
        break                            # Прерываем цикл, так как ответ уже найден

Решение руками:

Максимальное значение, которое можно получить при перемножении двух цифр, — . Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие , записанные в порядке неубывания: .

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа . Так как разложение единственное, его и возьмем в качестве наиболее выгодного: .

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа . Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в произведении было минимальным:

Разложения, в которых участвуют цифры больше нам не подходят.

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа . В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить , исходя из разложений, получим ответ — .

Проверим его: , запишем результаты в порядке неубывания: .

Решение программой:

В этой задаче автомат обрабатывает пятизначное число, выполняя описанные в условии действия. Нам нужно наименьшее число, которое даёт результат 36107. Переведём этот алгоритм на Python. Так как число должно быть пятизначным, будем перебирать все варианты от 10000 до 99999 включительно с помощью цикла for. Для удобного доступа к каждой цифре преобразуем текущее число в строку с функцией str(). Позиции в условии нумеруются слева направо, начиная с 1, поэтому нечётные позиции — это 1-я, 3-я и 5-я цифры, а чётные — 2-я и 4-я. Чтобы найти первую сумму, возведём в квадрат каждую цифру на нечётных позициях и сложим результаты, сохранив в переменной k1. Аналогично, сумму квадратов цифр на чётных позициях сохраним в переменной k2. Далее нужно записать эти суммы в порядке возрастания, поэтому определим меньшее из двух значений с помощью min(k1, k2) и большее с помощью max(k1, k2). Каждое из этих чисел преобразуем в строку, чтобы потом просто соединить через конкатенацию (+). Результат этой конкатенации сохраним в s1. Если s1 совпадает с ’36107’, значит текущее число подходит. Так как мы перебираем числа по возрастанию, первое найденное и будет наименьшим. Мы выведем его и завершим цикл командой break.

for i in range(10000, 100000):     # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999
     s = str(i)                    # Преобразуем число в строку для удобного обращения к цифрам по индексам
     k1 = int(s[0])**2 + int(s[2])**2 + int(s[4])**2  # Сумма квадратов цифр на нечётных позициях (индексы 0, 2, 4)
     k2 = int(s[1])**2 + int(s[3])**2                 # Сумма квадратов цифр на чётных позициях (индексы 1, 3)
     first = str(min(k1, k2))       # Преобразуем в строку меньшую из двух сумм и сохраняем
     second = str((max(k1, k2)))    # Преобразуем в строку большую из двух сумм и сохраняем
     s1 = first + second            # Конкатенируем строки в порядке возрастания сумм
     if s1 == ’36107’:              # Проверяем, совпадает ли результат с заданным "36107"
         print(i)                   # Выводим найденное число
         break                      # Прерываем цикл, так как наименьшее число уже найдено

Решение руками:

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 36 и 107. Раскладывая данные числа на суммы квадратов, получаем набор цифр для исходного числа {0,1,5,6,9}, при этом цифры {0,6} находятся на четных позициях, а цифры {1,5,9} на нечетных. Тогда минимальное число есть 10569.

Решение программой:

В этой задаче нам нужно найти наименьшее пятизначное число, которое, пройдя через описанный в условии алгоритм, выдаёт результат 26149. Для этого мы должны «перевести» пошаговые действия автомата с естественного языка на язык Python. Мы начинаем с перебора всех пятизначных чисел — от 10000 до 99999 включительно, что в Python удобно реализовать через range(10_000, 99_999 + 1). Каждое число цикла i преобразуем в строку функцией str, чтобы получить доступ к отдельным цифрам по индексам, а затем сразу превращаем их в целые числа через map(int, ...), чтобы можно было выполнять арифметические операции. Полученный список цифр сохраняем в переменной nums. По условию задачи, цифры на нечётных позициях (нумерация с 1, значит индексы 0, 2 и 4 в Python) нужно возвести в квадрат и сложить — это реализуем как nums[0] ** 2 + nums[2] ** 2 + nums[4] ** 2, результат сохраняем в nch. Аналогично, для чётных позиций (индексы 1 и 3) считаем сумму квадратов в переменную ch. Дальше, согласно правилу, нужно записать полученные суммы в порядке возрастания. Для этого проверяем, меньше ли ch, чем nch: если да, то конкатенируем их в строковом виде как str(ch) + str(nch), иначе меняем местами. Эта итоговая строка хранится в res. На последнем шаге проверяем, совпадает ли она с целевым значением ’26149’. Если совпадает — это значит, что текущее число i является ответом. Так как числа перебираются по возрастанию, первым найденным будет наименьшее, поэтому выводим его и прерываем цикл оператором break.

for i in range(10_000, 99_999 + 1):  # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 включительно
    nums = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число в строку и затем в список его цифр как целых чисел
    nch = nums[0] ** 2 + nums[2] ** 2 + nums[4] ** 2  # Суммируем квадраты цифр на нечётных позициях (индексы 0, 2, 4)
    ch = nums[1] ** 2 + nums[3] ** 2  # Суммируем квадраты цифр на чётных позициях (индексы 1, 3)
    if ch < nch:  # Если сумма квадратов чётных позиций меньше суммы квадратов нечётных
        res = str(ch) + str(nch)  # Сначала записываем меньшую сумму, затем большую
    else:  # В противном случае сумма квадратов нечётных позиций меньше или равна
        res = str(nch) + str(ch)  # Сначала записываем меньшую сумму, затем большую
    if res == ’26149’:  # Проверяем, совпадает ли результат с целевым значением
        print(i)  # Выводим найденное наименьшее число
        break  # Прерываем цикл, так как ответ найден

Решение руками:

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 26 и 149. Раскладывая данные числа на суммы квадратов, получаем набор цифр для исходного числа {1,2,5,8,9}, при этом цифры {1,5} находятся на четных позициях, и цифры {2,8,9} на нечетных. Тогда минимальное число есть 21859.

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 1 и 82. Раскладывая данные числа на суммы квадратов, получаем набор цифр для исходного числа {0,0,1,1,9}, при этом цифры {0,1} находятся на четных позициях, и цифры {0,1,9} на нечетных. Тогда максимальное число есть 91100.

Решение программой:

В этой задаче нам нужно найти наибольшее пятизначное число, которое после обработки автоматом даёт результат 182. Алгоритм работы автомата предусматривает сначала вычисление суммы квадратов цифр, стоящих на нечётных позициях, затем суммы квадратов цифр на чётных позициях, и запись этих двух сумм в порядке возрастания. Чтобы «перевести» этот алгоритм на язык Python, мы начинаем с перебора всех пятизначных чисел от 10000 до 99999 включительно с помощью цикла for. Для каждого числа мы сначала преобразуем его в строку, чтобы можно было легко обращаться к отдельным цифрам по индексам, и сразу создаём список целых чисел nums с помощью map(int, str(i)). Далее, согласно правилам, вычисляем сумму квадратов цифр на нечётных позициях (индексы 0, 2, 4 в Python) и сохраняем её в переменной k1, а сумму квадратов цифр на чётных позициях (индексы 1, 3) сохраняем в переменной k2. После этого формируем результат, записывая меньшую из сумм в начало строки, а большую — в конец, используя функции min и max и конкатенацию строк, и сохраняем полученную строку в переменной res. Если эта строка совпадает с целевым значением ’182’, добавляем текущее число в список a. После окончания перебора всех чисел мы находим наибольшее число из списка a с помощью функции max и выводим его, так как именно оно будет наибольшим пятизначным числом, которое при обработке даёт нужный результат.

a = []  # Создаём пустой список для хранения чисел, дающих нужный результат

for i in range(10000, 100000):  # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 включительно
    s = str(i)  # Преобразуем число в строку для удобного доступа к его цифрам
    k1 = int(s[0])**2 + int(s[2])**2 + int(s[4])**2  # Суммируем квадраты цифр на нечётных позициях (индексы 0, 2, 4)
    k2 = int(s[1])**2 + int(s[3])**2  # Суммируем квадраты цифр на чётных позициях (индексы 1, 3)
    first = min(k1, k2)  # Определяем меньшую сумму
    second = max(k1, k2)  # Определяем большую сумму
    if str(first) + str(second) == ’182’:  # Проверяем, совпадает ли результат с целевым значением
        a.append(i)  # Если совпадает, добавляем число в список
print(max(a))  # Выводим наибольшее число из списка, удовлетворяющее условию

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 75 и 90. Раскладывая данные числа на суммы квадратов, получаем набор цифр для исходного числа {1,3,5,7,9}, при этом цифры {3,9} находятся на четных позициях, и цифры {1,5,7} на нечетных. Тогда максимальное число есть 79531.

Решение программой:

В данной задаче мы должны найти наибольшее пятизначное число, которое после обработки автоматом даст результат 7590. Алгоритм работы автомата требует сначала вычислить сумму квадратов цифр на нечётных позициях числа, затем сумму квадратов цифр на чётных позициях, после чего эти две суммы записываются в порядке неубывания. Чтобы реализовать этот алгоритм на Python, мы начинаем с перебора всех пятизначных чисел от 10000 до 99999 включительно с помощью цикла for. Для каждого числа мы преобразуем его в строку s, чтобы было удобно обращаться к отдельным цифрам по индексам, а затем сразу формируем список цифр помощи map(int, str(i)). Далее вычисляем сумму квадратов цифр на нечётных позициях (индексы 0, 2, 4 в Python) и сохраняем её в переменной k1, а сумму квадратов цифр на чётных позициях (индексы 1, 3) — в переменной k2. После этого формируем результирующую строку, записывая меньшую из сумм первой, а большую — второй, с помощью функций min и max и конкатенации строк, и сохраняем результат в переменной res. Если эта строка совпадает с целевым значением ’7590’, мы добавляем текущее число в список a. После завершения перебора всех чисел мы используем функцию max для поиска наибольшего числа в списке a и выводим его, так как именно оно является наибольшим пятизначным числом, дающим нужный результат.

a = []  # Создаём пустой список для хранения чисел, результат обработки которых совпадает с целевым

for i in range(10000, 100000):  # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 включительно
    s = str(i)  # Преобразуем число в строку для удобного доступа к отдельным цифрам
    k1 = int(s[0])**2 + int(s[2])**2 + int(s[4])**2  # Вычисляем сумму квадратов цифр на нечётных позициях (индексы 0, 2, 4)
    k2 = int(s[1])**2 + int(s[3])**2  # Вычисляем сумму квадратов цифр на чётных позициях (индексы 1, 3)
    first = min(k1, k2)  # Определяем меньшую сумму
    second = max(k1, k2)  # Определяем большую сумму
    if str(first) + str(second) == ’7590’:  # Проверяем, совпадает ли результат с целевым числом
        a.append(i)  # Если совпадает, добавляем число в список
print(max(a))  # Выводим наибольшее число из списка, которое даёт требуемый результат

Запишем исходное число k в таком виде: .

Тогда число M можно записать следующим образом:

Также понятно, что и

Заметим, что при : .

Тогда пусть : ;

;

;

Исходное число .

Решение программой:

В данной задаче мы ищем такое число k меньше 100, которое после обработки автоматом даст результат 46. Алгоритм автомата сначала умножает число k на количество десятков в этом числе, а затем прибавляет количество единиц. Чтобы перевести этот алгоритм на Python, мы начинаем с перебора всех чисел от 0 до 99 с помощью цикла for i in range(100). Для каждого числа сохраняем его в переменную k, чтобы обозначить текущее обрабатываемое число. Затем умножаем k на количество десятков числа, которое вычисляется как целая часть от деления числа i на 10 (i // 10). Далее к полученному произведению прибавляем количество единиц числа, которое находится как остаток от деления числа i на 10 (i

for i in range(100):  # Перебираем все числа от 0 до 99 включительно
    k = i  # Сохраняем текущее число в переменной k
    k *= i // 10  # Умножаем k на количество десятков числа (целая часть от деления на 10)
    k += i % 10  # Прибавляем к k количество единиц числа (остаток от деления на 10)
    if k == 46:  # Проверяем, совпадает ли полученное число с целевым результатом
        print(i)  # Если совпадает, выводим текущее число i

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо определить такое число k меньше 100, которое после обработки автоматом даст число 658. Алгоритм работы автомата заключается в том, что сначала число k умножается на количество десятков этого числа, а затем к результату прибавляется количество единиц числа. Чтобы перевести этот алгоритм на Python, мы начинаем с перебора всех чисел от 0 до 99 включительно с помощью цикла for i in range(100). Для каждого числа сохраняем его в переменной k, чтобы обозначить текущее обрабатываемое значение. Далее мы умножаем k на количество десятков числа, которое вычисляется как целая часть от деления числа i на 10 (i // 10). После этого прибавляем количество единиц числа, которое определяется как остаток от деления числа i на 10 (i

for i in range(100):      # Перебираем все числа от 0 до 99 включительно
    k = i                  # Сохраняем текущее число в переменной k
    k *= i // 10           # Умножаем k на количество десятков числа (целая часть от деления на 10)
    k += i % 10            # Прибавляем к k количество единиц числа (остаток от деления на 10)
    if k == 658:           # Проверяем, совпадает ли полученный результат с целевым числом 658
        print(i)           # Если совпадает, выводим текущее число i

Запишем исходное число k в таком виде: .

Тогда число M можно записать следующим образом:

Также понятно, что и

Заметим, что при : .

Тогда пусть : ;

;

;

Исходное число .

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Тогда число M можно записать следующим образом:

Также понятно, что и

Заметим, что при : .

Тогда пусть : ;

;

;

Исходное число .

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти такое число k меньше 100, при вводе которого автомат выдаёт число 860. Алгоритм работы автомата описан следующим образом: сначала число k умножается на количество десятков этого числа, а затем к результату прибавляется количество единиц числа. Чтобы перевести этот алгоритм на язык Python, мы начинаем с перебора всех возможных чисел k от 10 до 99 включительно с помощью цикла for k in range(10, 100). Мы используем диапазон от 10, поскольку для чисел меньше 10 количество десятков равно нулю, и результат работы автомата будет trivially меньше 860. Для каждого числа k мы создаём переменную m, которая будет хранить промежуточный результат работы автомата. Сначала мы присваиваем m значение числа k, чтобы с ним было удобнее работать. Далее мы умножаем m на количество десятков числа, которое получаем, превращая число k в строку и беря первый символ str(k)[0], после чего преобразуем его обратно в целое число с помощью int. Затем прибавляем к m количество единиц числа, которое аналогично извлекаем как второй символ строки str(k)[1] и преобразуем в число. Полученное значение m соответствует результату работы автомата для данного k. Далее мы сравниваем m с целевым числом 860. Если m совпадает с 860, выводим текущее число k, так как оно является искомым, и цикл продолжается до конца диапазона. Поскольку мы ищем конкретное число, данный алгоритм позволяет точно определить входное значение, которое приводит к желаемому результату автомата.

for k in range(10, 100):           # Перебор всех чисел k от 10 до 99 включительно
    m = k                          # Создаём переменную m и присваиваем ей текущее значение k
    m *= int(str(k)[0])            # Умножаем m на количество десятков числа (первый символ строки числа k, преобразованный в число)
    m += int(str(k)[1])            # Прибавляем к m количество единиц числа (второй символ строки числа k, преобразованный в число)
    if m == 860:                   # Проверяем, совпадает ли результат работы автомата с целевым числом 860
        print(k)                   # Если совпадает, выводим текущее число k

Решение программой:

В данной задаче нам нужно определить такое число k, меньшее 100, при котором автомат выдаёт число 170. Алгоритм работы автомата следующий: сначала число k умножается на количество десятков числа k, затем к полученному произведению прибавляется количество единиц числа k. Для перевода этого алгоритма на язык Python мы используем цикл for i in range(100), чтобы перебрать все возможные числа k от 0 до 99. Для каждого значения i мы создаём переменную k, которой присваиваем текущее значение i, чтобы на этой переменной удобно производить вычисления по алгоритму автомата. Далее мы умножаем k на количество десятков числа, которое вычисляется как целая часть от деления i на 10 (i // 10). После этого к k прибавляем количество единиц числа, которое вычисляется как остаток от деления i на 10 (i

# Перебор всех возможных чисел k от 0 до 99 включительно
for i in range(100):
     # Создаём переменную k и присваиваем ей текущее число i
     k = i
     # Умножаем k на количество десятков числа (целая часть от деления на 10)
     k *= i // 10
     # Прибавляем к k количество единиц числа (остаток от деления на 10)
     k += i % 10
     # Проверяем, совпадает ли результат с целевым числом 170
     if k == 170:
          # Если совпадает, выводим число i — искомый вход для автомата
          print(i)

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Тогда число M можно записать следующим образом:

Также понятно, что и

Заметим, что при : .

Тогда пусть : ;

;

;

Исходное число .

Решение программой:

В данной задаче мы должны найти такое число k, меньшее 100, при котором автомат выдаёт число 506. Алгоритм работы автомата заключается в следующем: сначала число k умножается на количество десятков числа k, а затем к полученному произведению прибавляется количество единиц числа k. Для перевода этого алгоритма на язык Python мы используем цикл for i in range(100), чтобы последовательно перебрать все возможные числа k от 0 до 99. Для каждого значения i мы создаём переменную k, которой присваиваем текущее значение i, чтобы на этой переменной удобно производить последующие вычисления по правилам автомата. Далее мы умножаем k на количество десятков числа, которое вычисляется как целая часть от деления i на 10 (i // 10). После этого к k прибавляем количество единиц числа, которое вычисляется как остаток от деления i на 10 (i

# Перебор всех возможных чисел k от 0 до 99 включительно
for i in range(100):
    # Создаём переменную k и присваиваем ей текущее число i
    k = i
    # Умножаем k на количество десятков числа (целая часть от деления на 10)
    k *= i // 10
    # Прибавляем к k количество единиц числа (остаток от деления на 10)
    k += i % 10
    # Проверяем, совпадает ли результат с целевым числом 506
    if k == 506:
        # Если совпадает, выводим число i — искомый вход для автомата
        print(i)

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Тогда число M можно записать следующим образом:

Также понятно, что и

Заметим, что при : .

Тогда пусть : ;

;

;

Исходное число .

Программное решение:

В данной задаче нам нужно найти наибольшее четырёхзначное число k, такое что при пятикратном применении алгоритма трансформации числа сумма его цифр станет равной 18, а третья цифра полученного числа M будет равна 6. Алгоритм автомата заключается в том, что на каждом шаге последняя цифра числа увеличивается на единицу и переставляется в начало числа. Чтобы корректно реализовать этот алгоритм в Python, мы используем цикл for i in range(1000, 10000), который перебирает все возможные четырёхзначные числа. Для каждого числа создаём список n, содержащий отдельные цифры числа i, чтобы удобно манипулировать последней цифрой и переставлять её в начало. Внутри ещё одного цикла for j in range(5) мы выполняем пять итераций преобразования. На каждой итерации проверяем, не равна ли последняя цифра 9, чтобы не произошло переполнения: если равна — прекращаем преобразования для данного числа. Если переполнения нет, увеличиваем последнюю цифру на единицу и переставляем её в начало числа, смещая остальные цифры вправо. Для контроля того, что все пять преобразований были успешно выполнены, используем счётчик counter, который увеличивается на единицу после каждой успешной итерации. После завершения пяти итераций проверяем условия задачи: сумма всех цифр равна 18, третья цифра числа M равна 6, и счётчик равен 5 (все преобразования прошли без переполнения). Если все условия выполняются, выводим исходное число i. Такой подход позволяет корректно моделировать работу автомата и выбирать только те числа, которые удовлетворяют всем условиям.

# Перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно
for i in range(1000, 10000):
    # Преобразуем число i в список цифр для удобной работы с последней цифрой
    n = list(map(int, str(i)))
    # Счётчик успешных преобразований, чтобы отслеживать переполнение
    counter = 0
    # Выполняем пять итераций преобразования числа, как описано в алгоритме
    for j in range(5):
        # Проверяем, не равна ли последняя цифра 9, чтобы избежать переполнения
        if n[-1] == 9:
            break  # Прерываем цикл, если переполнение произошло
        else:
            # Увеличиваем последнюю цифру на единицу
            n[-1] += 1
            # Переставляем последнюю цифру в начало списка, сдвигая остальные вправо
            n = [n[-1]] + n[:-1]
            # Увеличиваем счётчик успешных преобразований
            counter += 1
    # После пяти итераций проверяем условия задачи:
    # сумма цифр равна 18, третья цифра числа равна 6, и все 5 преобразований выполнены
    if sum(n) == 18 and n[2] == 6 and counter == 5:
        # Если условия выполнены, выводим исходное число
        print(i)

Аналитическое решение:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Если , то новое число будет представлено в виде . Заметим, что сумма цифр нового числа на больше чем сумма цифр исходного числа . Тогда сумма цифр исходного числа есть . Также заметим, что если на третьей позиции в числе стоит , то верно , откуда ; Значит, необходимо подобрать такие , чтобы их сумма была равна , и число было максимально. При этом а Такое число .

Аналитическое решение:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Если , то новое число будет представлено в виде . Заметим, что сумма цифр нового числа на больше чем сумма цифр исходного числа . Тогда сумма цифр исходного числа есть . Также заметим, что если на третьей позиции в числе стоит , то верно , откуда ; Значит, необходимо подобрать такие , чтобы их сумма была равна , и число было максимально. При этом а Такое число .

Программное решение:

Мы имеем задачу, где необходимо найти наибольшее четырехзначное число, преобразуемое по определённым правилам, так чтобы после пяти итераций сумма его цифр была равна 28, а третья цифра итогового числа — 1. Для решения задачи на Python мы сначала организуем перебор всех возможных четырёхзначных чисел с помощью цикла for, задавая диапазон от 1000 до 9999 включительно. Каждое число преобразуем в список цифр, применяя функцию map вместе с str, чтобы каждая цифра числа стала отдельным элементом списка. Далее мы создаём внутренний цикл на пять итераций, где последняя цифра числа проверяется на значение 9, чтобы избежать переполнения; если последняя цифра равна 9, мы прерываем текущую итерацию с помощью break, иначе увеличиваем последнюю цифру на единицу. После увеличения последней цифры мы переставляем её в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо, используя генератор списка с индексами. Параллельно ведём счётчик успешных преобразований, чтобы убедиться, что все пять итераций прошли корректно. После завершения внутреннего цикла проверяем два условия: сумма цифр равна 28 и третья цифра списка равна 1, при этом счётчик должен быть равен пяти. Если все условия выполнены, выводим исходное число, которое удовлетворяет задаче. Такой подход позволяет точно реализовать алгоритм, описанный в условии, соблюдая ограничения на переполнение и корректное позиционирование цифр.

# Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999
for i in range(1000, 10000):
    # Преобразуем число i в список цифр, чтобы с ними удобно работать
    n = list(map(int, str(i)))
    # Инициализируем счётчик успешных преобразований числа
    counter = 0  # Счётчик, который будет подсчитывать, сколько раз последняя цифра была увеличена без переполнения
    # Повторяем процесс перестановки и увеличения последней цифры 5 раз
    for j in range(5):
        # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы избежать переполнения
        if n[-1] == 9:
            # Если переполнение возможно, прерываем цикл
            break
        else:
            # Увеличиваем последнюю цифру на 1
            n[-1] += 1  # Последняя цифра увеличена на единицу
            # Переставляем последнюю цифру в начало, сдвигая остальные вправо
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Новое расположение цифр: последняя в начале, остальные сдвинуты
            # Увеличиваем счётчик успешных преобразований
            counter += 1
    # Проверяем, что сумма цифр равна 28, третья цифра равна 1 и все 5 преобразований были успешны
    if sum(n) == 28 and n[2] == 1 and counter == 5:
        # Выводим число, которое удовлетворяет всем условиям задачи
        print(i)

Аналитическое решение:

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 1 и 3 или 0 и 13. Раскладывая первые числа на суммы квадратов, получаем набор цифр для исходного числа {0,1,1,1,1}, при этом цифры {0,1} находятся на четных позициях, и цифры {1,1,1} на нечетных. Тогда максимальное число есть 11101.

Раскладывая вторые числа на суммы квадратов, получаем набор цифр для исходного числа {0,0,0,3,2}, при этом цифры {0,0} находятся на четных позициях, и цифры {0,2,3} на нечетных. Тогда максимальное число есть 30200.

Программное решение:

В этой задаче мы должны смоделировать работу автомата, который получает на вход пятизначное число и строит по нему новое число по определённым правилам: сначала суммируются квадраты цифр на нечётных позициях числа, затем суммируются квадраты цифр на чётных позициях, после чего эти два полученных значения записываются в порядке возрастания друг относительно друга, а ведущие нули при этом отбрасываются. Чтобы реализовать этот алгоритм на Python, мы используем цикл for i in range(10000, 100000), перебирающий все пятизначные числа. Для каждого числа превращаем его в строку n = str(i), чтобы можно было легко обращаться к отдельным цифрам по индексу.

Далее создаём две суммы: nechet для квадратов цифр на нечётных позициях и chet для квадратов цифр на чётных позициях. В Python индексация начинается с нуля, поэтому цифры на позициях 0, 2, 4 считаются нечётными по условию задачи, а цифры на позициях 1 и 3 — чётными. Мы используем списковые включения, чтобы пройтись по индексам и суммировать квадраты соответствующих цифр. После вычисления этих сумм формируем строковое представление нового числа, записывая меньшую сумму первой, а большую — второй. После этого приводим результат к целому числу с помощью int(ans), чтобы избавиться от ведущих нулей. Наконец, проверяем, равен ли результат 13, и если да, выводим исходное число. Таким образом, мы полностью моделируем алгоритм работы автомата и выбираем наибольшее число, которое даёт требуемый результат.

# Перебор всех пятизначных чисел от 10000 до 99999 включительно
for i in range(10000, 100000):
    # Преобразуем число в строку, чтобы обращаться к его цифрам по индексу
    n = str(i)
    # Суммируем квадраты цифр на нечётных позициях (позиции 0, 2, 4)
    nechet = sum([int(n[j]) ** 2 for j in range(len(n)) if j % 2 == 0])
    # Суммируем квадраты цифр на чётных позициях (позиции 1, 3)
    chet = sum([int(n[j]) ** 2 for j in range(len(n)) if j % 2 != 0])
    # Формируем новое число, записывая суммы в порядке возрастания
    if nechet > chet:
        ans = str(chet) + str(nechet)  # меньшая сумма первая
    else:
        ans = str(nechet) + str(chet)  # меньшая сумма первая
    # Преобразуем строку обратно в целое число, чтобы отбросить ведущие нули
    ans = int(ans)
    # Проверяем, равен ли результат требуемому числу 13
    if ans == 13:
        # Если да, выводим исходное число
        print(i)

В этой задаче нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число k, такое что после шести итераций преобразования автомата сумма цифр получившегося числа M равна 31, а третья цифра числа M равна 8. Чтобы перевести алгоритм из условия на Python, мы начинаем с перебора всех четырёхзначных чисел с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Для каждого числа создаём переменную number, которая будет хранить текущее значение числа на каждом шаге преобразования. Мы также используем логическую переменную flag, которая будет указывать, произошло ли переполнение цифры 9: если последняя цифра числа равна 9, мы должны прекратить дальнейшие преобразования, так как переполнение запрещено.

Далее реализуем сам цикл преобразования числа: повторяем процесс шесть раз (n = 6). На каждой итерации проверяем последнюю цифру числа; если она равна 9, присваиваем flag = False и выходим из внутреннего цикла с помощью break. Если переполнения нет, увеличиваем последнюю цифру на 1, переводим число в строку, переставляем последнюю цифру в начало строки, а оставшиеся цифры сдвигаем вправо. После всех итераций проверяем, было ли переполнение: если да, продолжаем перебор следующего числа. В противном случае вычисляем сумму цифр получившегося числа M и проверяем третью цифру. Если сумма цифр равна 31 и третья цифра равна 8, выводим текущее число и прекращаем цикл, так как нам нужен наименьший подходящий вариант.

# Перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно
for i in range(1000, 10000):
    # Устанавливаем флаг, показывающий отсутствие переполнения
    flag = True
    # Инициализируем текущее число, которое будем преобразовывать
    number = i
    # Выполняем 6 итераций преобразования числа
    for j in range(6):
        # Проверяем, не равна ли последняя цифра 9
        if str(number)[-1] == ’9’:
            flag = False  # Переполнение произошло
            break  # Прекращаем преобразование
        # Увеличиваем последнюю цифру на 1
        number = str(number + 1)
        # Переставляем последнюю цифру в начало числа
        number = int(number[-1] + number[:-1])

    # Если переполнение произошло, пропускаем это число
    if not flag:
        continue

    # Проверяем, равна ли сумма цифр числа 31 и третья цифра 8
    if sum([int(digit) for digit in str(number)]) == 31 and str(number)[2] == ’8’:
        # Если условия выполнены, выводим число и прекращаем поиск
        print(i)
        break

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти число k меньше 100, при котором автомат по заданному алгоритму построит число M, равное 388. Чтобы перевести алгоритм на Python, мы начинаем с перебора всех возможных чисел k от 0 до 99 с помощью цикла for i in range(100). Для каждого числа мы присваиваем его значение переменной k, которая будет хранить промежуточное значение числа после выполнения преобразований. Согласно правилу, сначала мы умножаем k на количество десятков числа, которое находим как целую часть от деления i на 10. Затем к полученному произведению прибавляем количество единиц числа, которое вычисляется как остаток от деления i на 10. После этих двух операций число k становится нашим кандидатом на M.

Следующий шаг — проверка условия задачи. Мы сравниваем получившееся число k с искомым числом 388. Если оно совпадает, мы выводим исходное число i, при котором автомат выдаёт M = 388. Этот подход гарантирует, что мы переберём все возможные числа и найдём именно то, которое удовлетворяет заданному правилу построения числа.

# Перебор всех чисел k от 0 до 99 включительно
for i in range(100):
    # Инициализируем переменную k текущим числом i
    k = i
    # Умножаем k на количество десятков числа i
    k *= i // 10
    # Прибавляем к k количество единиц числа i
    k += i % 10
    # Проверяем, равно ли получившееся число 388
    if k == 388:
        # Если равно, выводим исходное число i
        print(i)

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Тогда число M можно записать следующим образом:

Также понятно, что и

Заметим, что при : .

Тогда пусть : ;

;

;

Исходное число .

Решение программой:

В данной задаче алгоритм работы автомата требует от нас выполнить операцию с четырёхзначным числом, преобразовав его в новое число, которое формируется на основе произведений отдельных пар цифр. Для того чтобы перевести этот алгоритм на Python, мы начинаем с перебора всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 с помощью цикла for i in range(1000,10000). Каждое число мы преобразуем в строку, чтобы иметь возможность легко обращаться к его отдельным цифрам по индексу. Первая и вторая цифры числа умножаются друг на друга, давая первое произведение k1, а третья и четвёртая цифры перемножаются, образуя второе произведение k2.

Далее нам необходимо записать эти два произведения друг за другом в порядке убывания, то есть сначала большее значение, затем меньшее. Для этого мы используем функции max и min, чтобы определить порядок чисел, и объединяем их в строку, создавая результат работы автомата. После этого проверяем, совпадает ли получившаяся строка с искомым числом "723". Если условие выполняется, мы добавляем исходное число в список кандидатов. В завершение, чтобы найти наименьшее число, удовлетворяющее условию, мы выводим минимальное значение из этого списка с помощью функции min.

# Инициализация пустого списка для хранения чисел, подходящих под условие
a = []

# Перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно
for i in range(1000,10000):
    # Преобразуем число в строку для удобного доступа к отдельным цифрам
    s = str(i)
    # Вычисляем произведение первой и второй цифры
    k1 = int(s[0])*int(s[1])
    # Вычисляем произведение третьей и четвертой цифры
    k2 = int(s[2])*int(s[3])
    # Определяем большее произведение для первой позиции результата
    first = max(k1,k2)
    # Определяем меньшее произведение для второй позиции результата
    second = min(k1,k2)
    # Проверяем, совпадает ли результат с искомым числом ’723’
    if str(first)+str(second) == ’723’:
        # Если совпадает, добавляем исходное число в список кандидатов
        a.append(i)

# Выводим наименьшее число из найденных кандидатов
print(min(a))

Решение руками:

Максимальное значение, которое можно получить при перемножении двух цифр, — 81. Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие 81, записанные в порядке убывания: 72|3.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 72. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в произведении было минимальным:

Значит, — самое выгодное для нас разложение числа 72. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 3. Так как разложение 3 единственное, его и возьмем в качестве наиболее выгодного:

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить 723, исходя из разложений, получим ответ — 1389.

Проверим его: запишем результаты в порядке убывания: 723.

Решение программой:

В данной задаче алгоритм работы автомата предполагает преобразование трёхзначного числа в новое число на основе суммы пар его цифр. Чтобы перевести этот алгоритм на Python, мы начинаем с перебора всех трёхзначных чисел от 100 до 999 включительно с помощью цикла for i in range(100, 1000). Для каждого числа нам необходимо определить его отдельные цифры. Первая цифра получается целочисленным делением на 100, вторая — остатком от деления числа на 100 с последующим целочисленным делением на 10, а третья — остатком от деления на 10.

После получения отдельных цифр мы вычисляем две суммы: первая сумма — это сумма первой и второй цифры числа, вторая сумма — сумма второй и третьей цифры числа. Затем, согласно условию задачи, мы формируем новое число, записывая эти две суммы друг за другом в порядке невозрастания. Для этого проверяем, какая из сумм больше или равна другой, и в зависимости от этого объединяем их в строку. Получившийся результат сравнивается с заданным числом "1212". Если совпадение найдено, мы выводим исходное число и прерываем цикл, так как нам нужно найти наименьшее число, удовлетворяющее условию.

# Перебор всех трёхзначных чисел от 100 до 999 включительно
for i in range(100, 1000):
    # Вычисляем сумму первой и второй цифры числа
    a1 = (i // 100) + ((i // 10) % 10)
    # Вычисляем сумму второй и третьей цифры числа
    a2 = ((i // 10) % 10) + (i % 10)
    # Формируем результат в порядке невозрастания
    if a1 >= a2:
        ans = str(a1) + str(a2)
    else:
        ans = str(a2) + str(a1)
    # Проверяем, совпадает ли результат с искомым числом ’1212’
    if ans == ’1212’:
        # Если совпадает, выводим найденное число и прерываем цикл
        print(i)
        break

Решение аналитически:

Максимальное значение, которое можно получить при сложении двух цифр, — 18. Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие 18: 12|12.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 12. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в сумме было минимальным:

— такое разложение для данного алгоритма невозможно, так как максимальная цифра — 9.

— такое разложение для данного алгоритма невозможно, так как максимальная цифра — 9.

— самое выгодное для нас разложение числа 12. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить 1212, поставим 9 в середину трёхзначного числа, а 3 в первый и последний разряды. Получаем ответ — 393.

Проверим его: , . Записываем результат в порядке невозраcтания — 1212.