5.03 Действия над цифрами числа

Решение программой:

В этой задаче нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести последовательных преобразований по правилам автомата превращается в число M с суммой цифр равной 21 и третьей цифрой равной 5. Для этого мы перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i мы преобразуем в строку через str(i), чтобы иметь возможность обращаться к отдельным цифрам по индексам, а затем с помощью map(int, ...) превращаем символы строки обратно в целые числа, создавая список цифр числа n = list(map(int, str(i))). Такой список позволяет нам удобно изменять отдельные цифры числа и выполнять операции, описанные в правилах автомата.

Далее мы создаём счётчик успешных преобразований counter, который фиксирует количество итераций без переполнения последней цифры. В цикле for j in range(6) мы последовательно выполняем шесть преобразований: сначала проверяем последнюю цифру через if n[-1] == 9. Если последняя цифра равна 9, её увеличение на единицу привело бы к переполнению, поэтому мы прерываем цикл с помощью break. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 (n[-1] += 1) и переставляем в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо с помощью конструкции [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждого успешного преобразования увеличиваем counter на 1, фиксируя, что итерация прошла без ошибок.

После выполнения всех шести преобразований мы проверяем выполнение трёх условий: сумма цифр числа M равна 21 (sum(n) == 21), третья цифра числа M равна 5 (n[2] == 5), и все шесть итераций были успешными (counter == 6). Если все условия выполняются, мы выводим найденное число i через print(i) и прерываем цикл с помощью break, поскольку требуется наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр для удобной работы с отдельными цифрами
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 21 and n[2] == 5 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: .

Если , то новое число будет представлено в виде . Заметим, что сумма цифр нового числа на больше чем сумма цифр исходного числа . Тогда сумма цифр исходного числа есть . Также заметим, что если на третьей позиции в числе стоит , то верно , откуда ; Значит, необходимо подобрать такие , чтобы их сумма была равна , и число было минимально при этом а Такое число .